Tema 2: Método de descomposición de series

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# Tema 2: Método de descomposición de series
]
.subtitle[
## Curso: Series Cronológicas
]
.author[
### Prof. Shu Wei Chou Chen
]
.institute[
### Posgrado en Estadística - Posgrado en Matemática (UCR)
]

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# Contenido

1. Componentes de las series temporales
2. Descomposición clásica.
  - Descomposición aditiva.
  - Descomposición multiplicativa.
3. Otras técnicas de descomposición.
4. Medidas para la precisión de los pronósticos

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# Componentes de las series temporales

Existe varios componentes en el comportamiento de series temporales:

1. **Tendencia:** comportamiento creciente o decreciente en largo plazo. Ej: crecimiento de población, ingresos por ventas.
  
  2. **Estacionalidad:** patrón o variaciones afectadas por repetición de una frecuencia dada (ej. semana, mes y año.). Consecuencia de cambios climáticos, comportamiento de la gente en el tiempo. Ej: venta de productos que dependen de la temporada, temperatura, pasajes de avión.

3. **Ciclo:** cuando los datos muestran subidas y bajadas de largo plazo, generalmente con frecuencia desconocida. Ej: ciclo económico, período de prosperidad alternando con período de recesión.

4. **Movimiento irregular o error:** variaciones en la serie que no siguen ningún patrón regular. Es el residuo que queda en una serie después de eliminar los componentes anteriores (tendencia-ciclo y estacionalidad).

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# Descomposición de series cronológicas

- Surgió al inicio del siglo XX.
- Los métodos más antiguos para describir y analizar series cronológicas.
- Los objetivos  de estos métodos son:
  1. Eliminar el componente de tendencia en una serie con el fin de estudiar la correlación serial entre las observaciones de la serie. 
  2. Separar los componentes para describir los diferentes componentes. 
- Generalmente combinamos el componente de tendencia con el de ciclo y lo llamamos tendencia-ciclo (o simplemente tendencia).
- En esta presentación, verémos métodos que consisten en descomponer una serie en: 
  1. tendencia-ciclo, 
  2. estacionalidad y 
  3. el componente irregular.

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# Modelos de descomposición

- **Modelo aditivo**

`$$Z_{t} = T_{t} + S_{t}  + I_t$$`

- **Modelo multiplicativo**

`$$Z_{t} = T_{t} \times S_{t} \times I_t.$$`
donde: 
`$Z_t$`: el valor de la serie `$Z$` en el tiempo `$t$`, 
`$T_t$`: componente tendencia-ciclo en el tiempo `$t$`. 
`$S_t$`: componente estacional en el tiempo `$t$`. 
`$I_t$`: componente irregular, aleatorio en el tiempo `$t$`.

- La descomposicion aditiva es la más apropiada si la magnitud de las fluctuaciones o la variación alrededor del tendencia-ciclo no varía con el nivel de la serie de tiempo.

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# Modelos de descomposición

- La descomposición multiplicativa se usa cuando la variación en el patrón estacional o la variación alrededor de tendencia-ciclo, parece ser proporcional al nivel de la serie de tiempo. Es cómun ver esto en las series del ámbito económico.

- **Observación:** Utilizando la transformación logarítmica en una serie de datos, el modelo multiplicativo se convierte en un modelo aditivo. (Esto equivale a estabilizar la variabilidad a lo largo del tiempo)

$$
Z_t=T_t \times S_t \times I_t 
$$
es equivalente a 
$$
\log Z_t = \log T_t + \log S_t + \log I_t.
$$

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# Ejemplo: fabricación de equipos eléctricos

- Los datos muestran el número de pedidos de equipos eléctricos (productos informáticos, electrónicos y ópticos) en la zona del euro (16 países). 
- Los datos han sido ajustados por días hábiles y estandarizados de manera tal que un valor de 100 sea el valor correspondiente al año 2005.

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# Ejemplo: fabricación de equipos eléctricos

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# Ejemplo: fabricación de equipos eléctricos

- Serie ajustada estacionalmente

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# Medias móviles

- El primer paso en una descomposición clásica es utilizar un método de promedio móvil para estimar el ciclo de tendencia.

- Un promedio móvil de orden `$m$` se puede escribir como:
`$$\begin{equation}
  PM_{t} = \frac{1}{m} \sum_{j=-k}^k Z_{t+j},
\end{equation}$$`

donde `$m = 2k+1$` (impar).

- La estimación de tendencia-ciclo en el momento `$t$` se obtiene promediando los valores de la serie temporal dentro de `$k$` períodos de `$t$`. 
- El promedio elimina parte de la aleatoriedad de los datos, dejando un componente tendencia-ciclo uniforme, es decir **suaviza** la serie original. A esto se le llama `$m$`-**MA**, que significa media móvil de orden `$m$`.

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# Medias móviles

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# Medias móviles

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="presentacion_files/figure-html/ressales3-1.png" alt="Diferentes medias móviles aplicado a los datos de ventas de electricidad residencial" width="60%" />
Diferentes medias móviles aplicado a los datos de ventas de electricidad residencial
</div>

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# Descomposición aditiva

- Suponemos que conocemos el período estacional `$m$`. Ej: `$m=4$` para datos trimestrales, `$m=12$` para datos mensuales, `$m=7$` para datos diarios por semana, etc.

**Paso I:**

a. Si `$m$` es impar, se calcula el promedio móvil de orden `$m$` de la siguiente forma:
  `$$PM_t=\frac{Z_{t-\frac{(m-1)}{2}}+...+Z_{t}+...+Z_{t+\frac{(m-1)}{2}}}{m}$$`
  
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# Descomposición aditiva
  
b. Si `$m$` es par, se debe calcular primero el promedio móvil de orden `$m$` correspondiente al periodo `$t-\frac{1}{2}$`:
  `$$PM_{1t}=\frac{Z_{t-\frac{m}{2}}+...+Z_{t}+...+Z_{t+\frac{m}{2}-1}}{m}$$`  
Luego se calcula el promedio móvil de orden `$m$` correspondiente al periodo `$t+\frac{1}{2}$`:
  `$$PM_{2t}=\frac{Z_{t-\frac{m}{2}+1}+...+Z_{t}+...+Z_{t+\frac{m}{2}}}{m}$$`  
Se calcula un promedio móvil centrado de la siguiente forma:
`$$PM_t=\frac{PM_{1t}+PM_{2t}}{2}$$`

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# Descomposición aditiva
  
- `$PM_t$` es la estimación del componente tendencia-ciclo `$T_t$`.
  
**Paso II:** Calcule `$R_t=Z_t -PM_t$` que es una estimación del componente estacional más el componente irregular, i.e. `$S_t+I_t$`.

**Paso III:** Para estimar el componente estacional, agrupar los valores `$R_t$`, correspondientes a cada estación `$m$` y calcular un promedio para cada estación. De esta forma, obtenemos los **índices estacionales**:
`$$S^*_j,~~~j=1,...m.$$`
Se debe ajustar estos índices para que sumen 0, y así se obtienen los **índices estacionales normalizados**. 
`$$S_j=S^*_j-\bar{S^*}$$`
Se interpreta que la serie `$Z$` es `$S_j$` mayor (o menor) que la serie ajustada en el periodo `$j$`.

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# Descomposición aditiva
 
**Paso IV:** 
Se obtiene la **serie ajustada estacionalmente**, que son los valores desestacionalizados usando `$d_t=Z_t-S_j$`.

**Paso V:** 
Finalmente, se obtiene el residuo `$I_t=Z_t-T_t-S_j$`.

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# Descomposición aditiva

Ejemplo 2.1 de Hernández (2011): Serie de número de contrayentes en los matrimonios celebrados en Costa Rica de 1978 a 1983.

.pull-left[
<img src="presentacion_files/figure-html/unnamed-chunk-6-1.png" width="80%" style="display: block; margin: auto;" />
]
.pull-right[
<img src="presentacion_files/figure-html/unnamed-chunk-7-1.png" width="80%" style="display: block; margin: auto;" />
]

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# Descomposición multiplicativa

Para descomponer una serie con el modelo multiplicativo:

**Paso I (igual que la descomposición aditiva):**

a. Si `$m$` es impar, se calcula el promedio móvil de orden `$m$` de la siguiente forma:
  `$$PM_t=\frac{Z_{t-\frac{(m-1)}{2}}+...+Z_{t}+...+Z_{t+\frac{(m-1)}{2}}}{m}$$`
  
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# Descomposición multiplicativa
  
b. Si `$m$` es par, se debe calcular primero el promedio móvil de orden `$m$` correspondiente al periodo `$t-\frac{1}{2}$`:
  `$$PM_{1t}=\frac{Z_{t-\frac{m}{2}}+...+Z_{t}+...+Z_{t+\frac{m}{2}-1}}{m}$$`  
Luego se calcula el promedio móvil de orden `$m$` correspondiente al periodo `$t+\frac{1}{2}$`:
  `$$PM_{2t}=\frac{Z_{t-\frac{m}{2}+1}+...+Z_{t}+...+Z_{t+\frac{m}{2}}}{m}$$`  
Se calcula un promedio móvil centrado de la siguiente forma:
`$$PM_t=\frac{PM_{1t}+PM_{2t}}{2}$$`

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# Descomposición multiplicativa
  
- `$PM_t$` es la estimación del componente tendencia-ciclo `$T_t$`.
  
**Paso II:** Calcule el cociente `$C_t=\frac{Z_t}{PM_t}$` que es una estimación del producto del componente estacional y el componente irregular, i.e. `$S_t \times I_t$`.

**Paso III:** Para estimar el componente estacional, agrupar los valores `$C_t$`, correspondientes a cada estación `$m$` y calcular un promedio para cada estación. De esta forma, obtenemos los **índices estacionales**:
`$$S^*_j,~~~j=1,...m.$$`
Se debe ajustar estos índices para que su producto sea 1 (media geométrica), y así se obtienen los **índices estacionales normalizados**.
`$$S_j=\frac{S^*_j}{\bar{S^*_G}}$$`

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# Descomposición multiplicativa
 
**Paso IV:** 
Se obtiene la **serie ajustada estacionalmente**, que son los valores desestacionalizados usando `$d_t=\frac{Z_t}{S_j}$`.

**Paso V:** 
Finalmente, se obtiene el residuo `$I_t=\frac{Z_t}{T_t S_j}$`.

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# Descomposición multiplicativa

Ejemplo 2.3 de Hernández (2011): serie mensual del número de turistas que ingresaron a Costa Rica de 1991 a 2000.

.pull-left[
<img src="presentacion_files/figure-html/unnamed-chunk-8-1.png" width="80%" style="display: block; margin: auto;" />
]
.pull-right[
<img src="presentacion_files/figure-html/unnamed-chunk-9-1.png" width="80%" style="display: block; margin: auto;" />
]

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## Comentarios sobre la descomposición clásica

- La estimación de la tendencia no se puede realizar para las primeras y últimas observaciones.
- Supone que el componente estacional repite de forma constante (aditiva o multiplicativa) a lo largo del tiempo.
  - Ej: la demanda eléctrica puede variar el comportamiento con las nuevas tecnologías como el aire acondicionado.
- La descomposición clásica no es apta para series que presentan variaciones a lo largo del periodo.

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# Otras técnicas de descomposición

- Existe una gran variedad de técnicas modificando formas de estimar la tendencia y la estacionalidad. Ej: X11, X11-ARIMA, X12-ARIMA, etc.
- Utilizan otros criterios como promedio móvil ponderado.

**Descomposición STL:**

- Propuesto por [Cleveland et al. (1990)](https://www.scb.se/contentassets/ca21efb41fee47d293bbee5bf7be7fb3/stl-a-seasonal-trend-decomposition-procedure-based-on-loess.pdf)
- Seasonal and trend descomposition using loess (en inglés).
- LOESS (locally weighted smoothing), también llamado LOWESS (Locally Weighted Scatterplot Smoothing), es una técnica de regresión no lineal.
- Localmente ajusta regresión lineal y crea una curva suave en el tiempo para estimar la tendencia.
- Ventajas:
  - el componente estacional puede variar en el tiempo.
  - permite el control del grado de suavizamiento.
  - es robusto a los outliers.
  
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# Descomposición STL

.pull-left[

```r
y.stl1<-stl(y,s.window,t.window=20, s.window="periodic", robust=TRUE)
plot(y.stl1)
```

<img src="presentacion_files/figure-html/unnamed-chunk-10-1.png" width="80%" style="display: block; margin: auto;" />
]
.pull-right[

```r
y.stl2<-stl(y,t.window=5, s.window="periodic", robust=TRUE)
plot(y.stl2)
```

<img src="presentacion_files/figure-html/unnamed-chunk-11-1.png" width="80%" style="display: block; margin: auto;" />
]

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# Descomposición y pronóstico

- Proyectar al futuro con los componentes individuales de la serie.
- El componente tendencia-ciclo se estima con una función simple (línea recta, cuadrática, etc.).
- El componente estacional se estima con el componente estacional del último periodo de los datos.
- El componente irregular se puede proyectar como 0 (modelo aditivo) y como 1 (modelo multiplicativo), si no está correlacionado (ruido blanco).

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# Ajuste del modelo

- Sean `$Z_1,...,Z_T$` las observaciones y `$\hat{Z}_1,...,\hat{Z}_T$` los valores ajustados de un modelo particular.

- Defina el error de pronóstico
$$
e_t=Z_t- \hat{Z}_t
$$
**Algunas consideraciones:**
- ¿Son correlacionados?
- ¿Tienen media cero?
- ¿Variancia constante?
- ¿Tienen distribución normal?

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## Medidas para la precisión de los pronósticos

- Dividir las observaciones en `$Z_1,...,Z_{T-1}$` y `$Z_{T}$`.
- Ajustar el modelo con `$Z_1,...,Z_{T-1}$` y pronosticar el valor de `$\hat{Z}_{T}$`.
- El error de pronóstico es definido por
$$
e_T=Z_T- \hat{Z}_T
$$
- `$\hat{Z}_{T}$` es llamado **pronóstico un paso para adelante**.
- `$e_{T}$` es llamado **error de pronóstico un paso para adelante**.

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## Medidas para la precisión de los pronósticos

- Usualmente se divide las observaciones `$Z_1,...,Z_{T+n}$` en:
  - Base de datos de entrenamiento `$Z_1,...,Z_{T}$`
  - Base de datos de prueba `$Z_{T+1},...,Z_{T+n}$`

- Ajustar el modelo con `$Z_1,...,Z_{T}$` y pronosticar los valores de `$\hat{Z}_{T+1},...,\hat{Z}_{T+n}$` (**pronóstico a n paso para adelante**).
- Definan las siguientes medidas:
  - Error absoluto medio (mean absolute error, MAE)
`$$EAM = \frac{\sum\limits_{i=1}^n |e_{T+i}|}{n}$$`

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## Medidas para la precisión de los pronósticos

- Error cuadrático medio (mean squared error, MSE)
`$$ECM = \frac{\sum\limits_{i=1}^n (e_{T+i})^2}{n}$$`

- Error porcentual absoluto medio (mean absolute percentage error, MAPE)
`$$EPAM = \frac{\sum\limits_{i=1}^n |EP_{T+i}|}{n}$$`
donde `$EP_{j}=100 \left[ \frac{Z_j-\hat{Z_j}}{Z_j} \right]$`.

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# Segunda parte
## Laboratorio