Tema 6: Modelos ARIMA de Box&Jenkins

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# Tema 6: Modelos ARIMA de Box&Jenkins - Parte 4
]
.subtitle[
## Curso: Series Cronológicas
]
.author[
### Prof. Shu Wei Chou Chen
]
.institute[
### Posgrado en Estadística - Posgrado en Matemática (UCR)
]

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# Contenido

1. Introducción: Modelos ARIMA estacionales.
2. Las f.a.c. y f.a.c.p. de los modelos ARIMA estacionales.
 - SAR(1)
 - SMA(1)
3. Diferenciación estacional
4. Modelos ARIMA estacionales: SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s

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# Introducción

- Series con comportamiento periódico son comunes de encontrar en la práctica.

- El tipo que ocurre con más frecuencia es el patrón estacional.

- Por ejm: datos mensuales, cuatrimestres, trimestres, diarios, etc.
- Sea `$s$` el período del componente estacional.

- Se espera que el comportamiento se repita en cada `$s$` períodos.

- Es decir, `$Z_t$` sea similar a las observaciones en `$Z_{t+sk}$` para `$k=\pm 1,\pm2,...$`.

- Por ejemplo, para datos mensuales, `$Z_t$` sea similar a las observaciones en `$Z_{t+ 12 k}$` para `$k=\pm 1,\pm2,...$`.

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# Las acf y pacf para series sestacionales

- Se espera que `$Z_t$` tenga correlación alta con `$Z_{t+sk}$` para `$k=\pm 1,\pm2,...$`.

- De esta forma, se puede detectar la estacionalidad con el correlograma.

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# AR(1) estacional puro: SAR(1)

- Este proceso está definido por:
`$$Z_t=C+\Phi_s Z_{t-s}+a_t$$`

- La acf es:

`$$\rho_k=\Phi_s^{k/s},~k=0, \pm s,\pm 2s,\pm 3s,...$$`
`$$\rho_k=0,~ \text{para otros valores de }k>0.$$`
- La pacf es diferente que cero en el rezago `$s$`.

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# La acf y pacf teórica del SAR(1)12

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# La acf y pacf muestral del SAR(1)12

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# MA(1) estacional puro, SMA(1)

- Este proceso está definido por:
  `$$Z_t=C+a_t-\Theta_s a_{t-s}$$`

- La f.a.c. es:

`$$\rho_0=1$$`
`$$\rho_s=\frac{-\Theta_s }{1+\Theta_s^2}$$`
`$$\rho_{ks}=0$$`

- La f.a.c.p. decae exponencialmente o sinusoidalmente a cero en los rezagos `$ks, k=1,2,...$`.

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# La acf y pacf teórica del SMA(1)12

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# La acf y pacf muestral del SMA(1)12

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#  Nota

- En la práctica, la etapa de identificación de modelos estacionales es más difícil debido a que los modelos estacionales se mezclan con modelos no estacionales.

## Diferenciación estacional

- Cuando la f.a.c. muestran estacas en los rezagos `$s, 2s, 3s,...$`, que no caen rápidamente a cero, la serie tiene una media no estacionaria y es necesario hacer una diferenciación estacional de longitud `$s$` para obtener una media estacionaria.

- **La diferenciación estacional de primer orden** es definida por:

`$$\nabla_s Z_t=Z_t-B^{s}Z_t=(1-B^{s})Z_t=Z_t-Z_{t-s}$$`

- **La diferenciación estacional de segundo orden** es definida por:

`$$\nabla_s^2 Z_t=\nabla_s (\nabla_s Z_t)=(1-B^{s})(1-B^{s})Z_t=Z_t-2Z_{t-s}+Z_{t-2s}$$`
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# Diferenciación estacional

- De la misma forma, se puede extender a `$D$` diferencias estacionales.

`$$\nabla_s^D Z_t=(1-B^{s})^D Z_t$$`

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# Modelos ARIMA estacionales (SARIMA)

- En la práctica, los patrones estacionales y no estacionales se mezclan y es necesario separarlos mediante un cuidadoso examen de las f.a.c. y f.a.c.p.

- Similarmente a un modelo no estacional, el modelo multiplicativo estacional es ajustado primero por un modelo ARIMA(P,D,Q):

`$$(1-\Phi_s B^s -\Phi_{2s}  B^{2s}-...-\Phi_{Ps} B^{sP})(1-B^s)^D \tilde{Z}_t=$$`
`$$(1-\Theta_{s} B^s-\Theta_{2s} B^{2s}-...-\Theta_{Qs} B^{Qs})b_t.$$`
- Si la serie contiene solo el patrón estacional, `$b_t$` es ruido blanco.
- Si la serie posee también un patrón no estacional, `$b_t$` debe describirse con un modelo ARIMA no estacional.

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# SARIMA

Este modelo se puede simplificar con la siguiente ecuación:

`$$\Phi_P(B^s)\nabla_s^D \tilde{Z}_t=\Theta_Q(B^s)b_t.$$`
donde: 
`$\Phi_P(B^s)=1-\Phi_s B^s -\Phi_{2s} B^{2s}-...-\Phi_{Ps} B^{Ps}$` es el operador estacional autorregresivo, 
`$\Theta_Q(B^s)=1-\Theta_{s} B^s-\Theta_{2s} B^{2s}-...-\Theta_{Qs} B^{Qs}$` es el operador estacional de medias móviles, y 
`$\nabla_s^D=(1-B^s)^D$` es el operador de diferenciación estacional de orden `$D$`.

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# SARIMA

- Si `$b_t$` es representado por un modelo `$ARIMA(p,d,q)$`:

`$$\phi_p(B)\nabla^d b_t=\theta_q(B)a_t.$$`
donde `$a_t$` es ruido blanco, entonces bajo supuestos de estacionariedad, se puede despejar:

$$ b_t=\left[ \phi_p(B)\nabla^d \right]^{-1} \theta_q(B)a_t.$$
Finalmente, el modelo `$SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)_s$` es representado por:

`$$\Phi_P(B^s) \phi(B)_p \nabla^d \nabla_s^D \tilde{Z}_t=\Theta_Q(B^s) \theta_q(B)a_t.$$`
donde `$\phi_p(B)$` es el operador AR no estacional, `$\theta_q(B)$` es el operador MA no estacional, `$\nabla^d$` es el operador de diferenciación no estacional, `$\Phi_P(B^s)$` es el operador AR estacional, `$\Theta_Q(B^s)$` es el operador MA estacional y `$\nabla_s^D$` es el operador de diferenciación estacional.

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# Ejemplo

- Considere el modelo `$SARIMA(0,0,1)(1,0,0)_{12}$`

`$$Z_t=0.8 Z_{t−12}+a_t- 0.5 a_{t−1}$$`
- Escriba el modelo en forma compacta (usando operadores de rezago).

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# Ejemplo

- Las f.a.c. y f.a.c.p. teóricas del `$SARIMA(0,0,1)(1,0,0)_{12}$`.

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# Ejemplo

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# Ejemplo

- Las f.a.c. y f.a.c.p. teóricas del `$SARIMA(1,0,0)(0,0,1)_{12}$`.

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# Ejemplo

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# Próximos temas

### Tema 7: Modelos de regresión dinámica