Tema 1: Análisis espectral de series temporales⁽²⁾

Curso: Tópicos Avanzados de Series Temporales

Shu Wei Chou Chen

shuwei.chou@ucr.ac.cr

Escuela de Estadística, Universidad de Costa Rica

Introducción

Contenido

1. Introducción

2. Comportamiento cíclico y periodicidad

3. Ejemplo

Introducción

• Hasta el momento hemos centrado el análisis de series temporales en el dominio de tiempo.
• Vamos a enfocar el estudio de series temporales en el dominio de frecuencias.
• Es decir, expresar las características de las series en término de las variaciones periódicas.
• Por ejemplo:
  • Para datos trimestrales que presentan un ciclo por año, i.e. periodicidad de 4, o \(\omega=1/4=0.25\) ciclos por observación.
  • Para datos mensuales que presentan un ciclo por año, i.e. periodicidad de 12, o \(\omega=1/12=0.083\) ciclos por observación.
• Existen muchas escalas de frecuencia, pero vamos a utilizar la frecuencia como \(\omega\). Alternativamente, se puede definir \(\lambda=2 \pi \omega\), que está dado por radianes por observación.

Ejemplo 1: pasajeros

• La base de datos AirPassenger en R proporciona total de pasajeros mensuales de una aerolínea estadounidense de 1949 a 1960.

• En este caso, el ciclo se completa cada \(12\) observaciones.
  • Es decir, la periodicidad dominante de esta serie es \(1/\omega=12\).
    
• Alternativamente, se dice que recorre \(\omega=0.083\) ciclo por cada observación.
  • Es decir, la frecuencia dominante es \(\omega=0.083\).
• ¿Hay alguna manera formal de detectar esta periodicidad?

• Aplicamos el logarítmo para estabilizar la variabilidad y quitamos la tendencia lineal de los datos.

autoplot(log(AirPassengers))+ 
  geom_smooth(method='lm', formula= y~x)

mod<-tslm(log(AirPassengers)~trend)

autoplot(mod$residuals)

ggAcf(mod$residuals,lag.max=50)

• Note que la ACF nos da indicación de que al quitar la tendencia, puede haber periodicidad de 12 meses.

• El periodograma nos indica las frecuencias que domina una serie.

turista.per = mvspec(mod$residuals) 

frequency(mod$residuals)

[1] 12

res_numeric <- as.numeric(mod$residuals)
frequency(res_numeric)

[1] 1

turista.per = mvspec(res_numeric) 

turista.per$details

      frequency   period spectrum
 [1,]    0.0069 144.0000   0.0811
 [2,]    0.0139  72.0000   0.0156
 [3,]    0.0208  48.0000   0.0362
 [4,]    0.0278  36.0000   0.0001
 [5,]    0.0347  28.8000   0.0036
 [6,]    0.0417  24.0000   0.0092
 [7,]    0.0486  20.5714   0.0021
 [8,]    0.0556  18.0000   0.0020
 [9,]    0.0625  16.0000   0.0011
[10,]    0.0694  14.4000   0.0008
[11,]    0.0764  13.0909   0.0139
[12,]    0.0833  12.0000   0.8117
[13,]    0.0903  11.0769   0.0128
[14,]    0.0972  10.2857   0.0040
[15,]    0.1042   9.6000   0.0004
[16,]    0.1111   9.0000   0.0004
[17,]    0.1181   8.4706   0.0020
[18,]    0.1250   8.0000   0.0064
[19,]    0.1319   7.5789   0.0007
[20,]    0.1389   7.2000   0.0016
[21,]    0.1458   6.8571   0.0005
[22,]    0.1528   6.5455   0.0005
[23,]    0.1597   6.2609   0.0077
[24,]    0.1667   6.0000   0.2414
[25,]    0.1736   5.7600   0.0008
[26,]    0.1806   5.5385   0.0014
[27,]    0.1875   5.3333   0.0023
[28,]    0.1944   5.1429   0.0000
[29,]    0.2014   4.9655   0.0003
[30,]    0.2083   4.8000   0.0003
[31,]    0.2153   4.6452   0.0009
[32,]    0.2222   4.5000   0.0025
[33,]    0.2292   4.3636   0.0006
[34,]    0.2361   4.2353   0.0003
[35,]    0.2431   4.1143   0.0001
[36,]    0.2500   4.0000   0.0296
[37,]    0.2569   3.8919   0.0002
[38,]    0.2639   3.7895   0.0004
[39,]    0.2708   3.6923   0.0001
[40,]    0.2778   3.6000   0.0002
[41,]    0.2847   3.5122   0.0001
[42,]    0.2917   3.4286   0.0002
[43,]    0.2986   3.3488   0.0004
[44,]    0.3056   3.2727   0.0005
[45,]    0.3125   3.2000   0.0005
[46,]    0.3194   3.1304   0.0002
[47,]    0.3264   3.0638   0.0017
[48,]    0.3333   3.0000   0.0413
[49,]    0.3403   2.9388   0.0001
[50,]    0.3472   2.8800   0.0039
[51,]    0.3542   2.8235   0.0004
[52,]    0.3611   2.7692   0.0000
[53,]    0.3681   2.7170   0.0001
[54,]    0.3750   2.6667   0.0000
[55,]    0.3819   2.6182   0.0010
[56,]    0.3889   2.5714   0.0001
[57,]    0.3958   2.5263   0.0000
[58,]    0.4028   2.4828   0.0015
[59,]    0.4097   2.4407   0.0010
[60,]    0.4167   2.4000   0.0175
[61,]    0.4236   2.3607   0.0003
[62,]    0.4306   2.3226   0.0010
[63,]    0.4375   2.2857   0.0006
[64,]    0.4444   2.2500   0.0002
[65,]    0.4514   2.2154   0.0002
[66,]    0.4583   2.1818   0.0007
[67,]    0.4653   2.1493   0.0005
[68,]    0.4722   2.1176   0.0008
[69,]    0.4792   2.0870   0.0006
[70,]    0.4861   2.0571   0.0000
[71,]    0.4931   2.0282   0.0005
[72,]    0.5000   2.0000   0.0013

Ejemplo 2: Corriente de rio

• El flujo mensual del rio de Iowa medido en Wapello, Iowa de septiembre 1958 a agosto 2006.

data(flow)
autoplot(flow,ylab='River Flow')

ggAcf(flow,lag.max=50)

rio.per = mvspec(flow) 

Ejemplo 3: Producción de leche

• Producción de leche promedio por vaca en Estados Unidos de enero 1994 a diciembre 2005.

data(milk)
autoplot(milk)+ 
  geom_smooth(method='lm', formula= y~x)

mod<-tslm(milk~trend)
autoplot(mod$residuals)

ggAcf(mod$residuals,lag.max=50)

milk.per = mvspec(mod$residuals) 

Comportamiento cíclico y periodicidad

Contenido

1. Introducción

2. Comportamiento cíclico y periodicidad

3. Ejemplo

Comportamiento cíclico y periodicidad

• Considere \[x_t=2 \cos \left( 2 \pi \frac{t+15}{50} \right)+ w_t\] para \(t=1,...,500.\)

• El modelo general \[x_t = A \cos(2\pi \omega t + \phi) + w_t\] con amplitud \(A\), frecuencia \(\omega\), y fase \(\phi\).

• El ejemplo anterior considera:

  • \(A=2\),
  • \(\omega=1/50\) (un ciclo cada 50 puntos en el tiempo) y
  • \(\phi=\frac{2 \pi 15}{50}=0.6 \pi\).

t = 1:500 ; w = rnorm(500,0,1)
cs = 2*cos(2*pi*t/50 + .6*pi) 
par(mfrow=c(3,1))
plot.ts(cs, main=expression(2*cos(2*pi*t/50+.6*pi)))
abline(v = 0.6*pi, col= 2)
plot.ts(cs+w, main=expression(2*cos(2*pi*t/50+.6*pi) + N(0,1)))
plot.ts(cs+5*w, main=expression(2*cos(2*pi*t/50+.6*pi) + N(0,25)))

• Ahora considere el modelo: \[x_t=A \cos(2\pi \omega t + \phi)\] con amplitud \(A\), frecuencia \(\omega\), y fase \(\phi\) (que determina dónde inicia la función coseno).

• Usando la identidad trigonométrica \[\cos(\alpha\pm\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)\mp \sin(\alpha)\sin(\beta),\] se puede reescribir el modelo como: \[x_t=U_1 \cos(2\pi \omega t )+U_2 \sin(2\pi \omega t ),\] donde \(U_1=A \cos\phi\) y \(U_2=-A \sin\phi\).

• Vamos a concentrarnos en este modelo:

\[x_t=U_1 \cos(2\pi \omega t )+U_2 \sin(2\pi \omega t ),\] donde \(U_1=A \cos\phi\) y \(U_2=-A \sin\phi\).

• Suponga que \(U_1\) y \(U_2\) son variables aleatorias no correlacionadas con media \(0\) y variancia \(\sigma^2\).

• Se puede comprobar que el proceso estocástico \(x_t\) es estacionario con media \(0\) y su función de autocovariancia es dada por:

\[\gamma_X(h)=Cov(x_{t+h},x_t)=\sigma^2 \cos(2 \pi \omega h).\]

• Note que \(Var(x_t)=\gamma_X(0)=\sigma^2\).

• Note que el modelo \[x_t=U_1 cos(2\pi \omega t )+U_2 sin(2\pi \omega t ),\] es función de su frecuencia, \(\omega\).

• Si \(\omega=1\), la serie realiza un ciclo cada unidad de tiempo.

• Si \(\omega=0.5\), la serie realiza un ciclo cada 2 unidades de tiempo.

• Si \(\omega=0.25\), la serie realiza un ciclo cada 4 unidades de tiempo.

• En la práctica, al observar tiempos discretos, necesitamos por lo menos 2 puntos para determinar un ciclo, entonces nos interesa frecuencia máxima de 0.5 ciclos por unidad de tiempo.

• Vamos a generalizar el modelo anterior a \(q\) mezclas de series periódicas.

\[x_t=\sum_{k=1}^q U_{k1} cos(2\pi \omega_k t )+U_{k2} sin(2\pi \omega_k t ),\] donde \(U_{k1},U_{k2}\), para \(k=1,...,q\) son v.a. con media cero con variancia \(\sigma_k^2\) y no correlacionadas, y \(\omega_k\) son frecuencias distintas.

• Se puede comprobar que \[\gamma_X(h)=\sum_{k=1}^q \sigma_k^2 cos(2 \pi \omega_k h).\]
• De esta forma, \(x_t\) es estacionario con media \(0\) y variancia \(\gamma_X(0)=\sum\limits_{k=1}^q \sigma_k^2\).

Ejemplo

Contenido

1. Introducción

2. Comportamiento cíclico y periodicidad

3. Ejemplo

Una serie periódica (determinística)

• Considere \(q=3\) y \(U_{k1},U_{k1}\) fijos, es decir:

\[x_t=\sum\limits_{k=1}^q U_{k1} \cos(2\pi \omega_k t )+U_{k2} \sin(2\pi \omega_k t)= x_{t1}+x_{t2}+x_{t3}.\]

• Cada término está dado por: \[x_{t1}= 2 \cos\left(2\pi t \frac{6}{100} \right)+3 \sin\left(2\pi t \frac{6}{100}\right)\] \[x_{t2}= 4 \cos\left(2\pi t \frac{10}{100}\right)+5 \sin\left(2\pi t \frac{10}{100}\right)\] \[x_{t3}= 6 \cos\left(2\pi t \frac{40}{100}\right)+7 \sin\left(2\pi t \frac{40}{100}\right)\]

• Interprete la frecuencia \(\omega\) y el ciclo \(1/\omega\) de cada componente.

x1 = 2*cos(2*pi*1:100*6/100)  + 3*sin(2*pi*1:100*6/100)
x2 = 4*cos(2*pi*1:100*10/100) + 5*sin(2*pi*1:100*10/100)
x3 = 6*cos(2*pi*1:100*40/100) + 7*sin(2*pi*1:100*40/100)
x = x1 + x2 + x3 

par(mfrow=c(2,2))
tsplot(x1, ylim=c(-10,10), main = expression(omega==6/100~~~A^2==13))
tsplot(x2, ylim=c(-10,10), main = expression(omega==10/100~~~A^2==41))
tsplot(x3, ylim=c(-10,10), main = expression(omega==40/100~~~A^2==85))
tsplot(x, ylim=c(-16,16), main="suma")

Estimación del periodograma (intuición)

• Sea una serie temporal \(x_1,...,x_T\) con \(T\) impar.

• Se puede escribir \(x_t\) como

\[x_t = a_0 + \sum_{j=1}^{(T-1)/2} \left[ a_j \cos\left(2\pi t \frac{j}{T}\right)+b_j \sin\left(2\pi t \frac{j}{T}\right) \right].\]

• Si \(T\) es par, se puede modificar la ecuación sumando a \(\left(\frac{T}{2}-1\right)\) y agregar un componente adicional por \(a_{T/2} \cos\left(2\pi t~\frac{1}{2}\right)=a_{T/2}(-1)^t\).

• Note que \(a_0\), \(a_j\) y \(b_j\) son desconocidos y requieren ser estimados. Considerando como un modelo de regresión, los coeficientes pueden ser calculados por: \(a_0=\bar{x}\)

\[a_j=\frac{2}{T}\sum_{t=1}^T x_t \cos\left(2\pi t\frac{j}{T}\right),~~~\text{y}~~~ b_j=\frac{2}{T}\sum_{t=1}^T x_t \sin\left(2\pi t\frac{j}{T}\right).\]

• Los coeficientes \(a_j\) y \(b_j\) tienen el significado de cuán grande es la amplitud de cada componente de frecuencias \(\frac{j}{T}\).

• Por consiguiente, podemos definir el periodograma como \[P\left(\frac{j}{T}\right)=a_j^2+b_j^2,~ \text{para}~~ j=1,...,\frac{(T-1)}{2}.\]

• Note que el periodograma expresa la serie temporal \(x_t\) en sumas de los componentes de frecuencias (oscilación sinusoidal) multiplicado por su variancia \(\sigma_j^2\).

• Valores altos de \(P\left(\frac{j}{T}\right)\) implica que la contribución de la frecuencia \(\omega_j=\frac{j}{T}\) es importante. Valores pequeños implica que son ruidos.

• En la práctica, es común enfrentar series largas y el uso computacional del enfoque de regresión no es eficiente.

• Se utiliza la Transformada Discreta de Fourier (TDF) que se discutirá con más detalles:

\[d\left(\frac{j}{T}\right)=\frac{1}{T^{1/2}}\sum_{t=1}^T x_t \exp{\left(-2 \pi it\frac{j}{T}\right)}\] \[= \frac{1}{T^{1/2}}\sum_{t=1}^T x_t \cos\left(2\pi t~\frac{j}{T}\right)- i \sum_{t=1}^T x_t \sin\left(2\pi t\frac{j}{T}\right).\]

• Recuerde la serie

\[x_t=\sum\limits_{k=1}^q U_{k1} \cos(2\pi \omega_k t )+U_{k2} \sin(2\pi \omega_k t)= x_{t1}+x_{t2}+x_{t3}.\]

• Cada término está dado por:

\[x_{t1}= 2 \cos\left(2\pi t \frac{6}{100} \right)+3 \sin\left(2\pi t \frac{6}{100}\right)\]

\[x_{t2}= 4 \cos\left(2\pi t \frac{10}{100}\right)+5 \sin\left(2\pi t \frac{10}{100}\right)\]

\[x_{t3}= 6 \cos\left(2\pi t \frac{40}{100}\right)+7 \sin\left(2\pi t \frac{40}{100}\right)\]

x1 = 2*cos(2*pi*1:100*6/100)  + 3*sin(2*pi*1:100*6/100)
x2 = 4*cos(2*pi*1:100*10/100) + 5*sin(2*pi*1:100*10/100)
x3 = 6*cos(2*pi*1:100*40/100) + 7*sin(2*pi*1:100*40/100)
x = x1 + x2 + x3 

par(mfrow=c(2,2))
tsplot(x1, ylim=c(-10,10), main = expression(omega==6/100~~~A^2==13))
tsplot(x2, ylim=c(-10,10), main = expression(omega==10/100~~~A^2==41))
tsplot(x3, ylim=c(-10,10), main = expression(omega==40/100~~~A^2==85))
tsplot(x, ylim=c(-16,16), main="suma")

P = abs(2*fft(x)/100)^2
Fr = 0:99/100                    
cbind(Fr, P) %>% round(4)

         Fr  P
  [1,] 0.00  0
  [2,] 0.01  0
  [3,] 0.02  0
  [4,] 0.03  0
  [5,] 0.04  0
  [6,] 0.05  0
  [7,] 0.06 13
  [8,] 0.07  0
  [9,] 0.08  0
 [10,] 0.09  0
 [11,] 0.10 41
 [12,] 0.11  0
 [13,] 0.12  0
 [14,] 0.13  0
 [15,] 0.14  0
 [16,] 0.15  0
 [17,] 0.16  0
 [18,] 0.17  0
 [19,] 0.18  0
 [20,] 0.19  0
 [21,] 0.20  0
 [22,] 0.21  0
 [23,] 0.22  0
 [24,] 0.23  0
 [25,] 0.24  0
 [26,] 0.25  0
 [27,] 0.26  0
 [28,] 0.27  0
 [29,] 0.28  0
 [30,] 0.29  0
 [31,] 0.30  0
 [32,] 0.31  0
 [33,] 0.32  0
 [34,] 0.33  0
 [35,] 0.34  0
 [36,] 0.35  0
 [37,] 0.36  0
 [38,] 0.37  0
 [39,] 0.38  0
 [40,] 0.39  0
 [41,] 0.40 85
 [42,] 0.41  0
 [43,] 0.42  0
 [44,] 0.43  0
 [45,] 0.44  0
 [46,] 0.45  0
 [47,] 0.46  0
 [48,] 0.47  0
 [49,] 0.48  0
 [50,] 0.49  0
 [51,] 0.50  0
 [52,] 0.51  0
 [53,] 0.52  0
 [54,] 0.53  0
 [55,] 0.54  0
 [56,] 0.55  0
 [57,] 0.56  0
 [58,] 0.57  0
 [59,] 0.58  0
 [60,] 0.59  0
 [61,] 0.60 85
 [62,] 0.61  0
 [63,] 0.62  0
 [64,] 0.63  0
 [65,] 0.64  0
 [66,] 0.65  0
 [67,] 0.66  0
 [68,] 0.67  0
 [69,] 0.68  0
 [70,] 0.69  0
 [71,] 0.70  0
 [72,] 0.71  0
 [73,] 0.72  0
 [74,] 0.73  0
 [75,] 0.74  0
 [76,] 0.75  0
 [77,] 0.76  0
 [78,] 0.77  0
 [79,] 0.78  0
 [80,] 0.79  0
 [81,] 0.80  0
 [82,] 0.81  0
 [83,] 0.82  0
 [84,] 0.83  0
 [85,] 0.84  0
 [86,] 0.85  0
 [87,] 0.86  0
 [88,] 0.87  0
 [89,] 0.88  0
 [90,] 0.89  0
 [91,] 0.90 41
 [92,] 0.91  0
 [93,] 0.92  0
 [94,] 0.93  0
 [95,] 0.94 13
 [96,] 0.95  0
 [97,] 0.96  0
 [98,] 0.97  0
 [99,] 0.98  0
[100,] 0.99  0

tsplot(Fr, P, type="o", xlab="frequencia", ylab="periodograma")
abline(v=.5, lty=2)

• Note que:
  • \(P\left(\frac{6}{100}\right)=P\left(\frac{94}{100}\right)=13=2^2+3^2\)
  • \(P\left(\frac{10}{100}\right)=P\left(\frac{90}{100}\right)=41=4^2+5^2\)
    
  • \(P\left(\frac{40}{100}\right)=P\left(\frac{60}{100}\right)=85=6^2+7^2\)
• Si consideramos \(x_t\) como un color (en forma de ondas), que está compuesto por 3 colores distintos con su intensidad (amplitud), podemos considerar el periodograma como un prisma que descompone el color \(x_t\) en los colores primarios (espectro).

Magnitud de estrella

• Considere la serie temporal de la magnitud de una estrella a las 00:00 (medianoche) de 600 días consecutivos. Su gráfico y el periodograma de frecuencias menores que 0.08 se muestran a continuación.

data(star)
tsplot(star, ylab="star magnitude", xlab="day")

n  <- length(star)
Per <- Mod(fft(star-mean(star)))^2/n
Freq <- (1:n -1)/n
cbind(Freq, 1/Freq, Per) %>% round(4)

Time Series:
Start = 1 
End = 600 
Frequency = 1 
      Freq   1/Freq        Per
  1 0.0000      Inf     0.0000
  2 0.0017 600.0000     0.4508
  3 0.0033 300.0000     0.6384
  4 0.0050 200.0000     0.6520
  5 0.0067 150.0000     0.9562
  6 0.0083 120.0000     1.1022
  7 0.0100 100.0000     1.5719
  8 0.0117  85.7143     1.9197
  9 0.0133  75.0000     2.6604
 10 0.0150  66.6667     3.3605
 11 0.0167  60.0000     4.6021
 12 0.0183  54.5455     6.0006
 13 0.0200  50.0000     8.2993
 14 0.0217  46.1538    11.3051
 15 0.0233  42.8571    16.2616
 16 0.0250  40.0000    23.8493
 17 0.0267  37.5000    37.6071
 18 0.0283  35.2941    64.1001
 19 0.0300  33.3333   127.6647
 20 0.0317  31.5789   339.5142
 21 0.0333  30.0000  2136.9626
 22 0.0350  28.5714 11020.7997
 23 0.0367  27.2727   643.6224
 24 0.0383  26.0870   215.2119
 25 0.0400  25.0000   108.5316
 26 0.0417  24.0000  9011.0018
 27 0.0433  23.0769    44.9906
 28 0.0450  22.2222    32.8288
 29 0.0467  21.4286    25.1268
 30 0.0483  20.6897    19.9459
 31 0.0500  20.0000    16.2750
 32 0.0517  19.3548    13.5499
 33 0.0533  18.7500    11.4988
 34 0.0550  18.1818     9.8560
 35 0.0567  17.6471     8.5797
 36 0.0583  17.1429     7.4799
 37 0.0600  16.6667     6.6090
 38 0.0617  16.2162     5.7874
 39 0.0633  15.7895     5.1047
 40 0.0650  15.3846     4.3333
 41 0.0667  15.0000     3.4350
 42 0.0683  14.6341     0.8665
 43 0.0700  14.2857     7.7598
 44 0.0717  13.9535     4.9611
 45 0.0733  13.6364     4.2177
 46 0.0750  13.3333     3.7277
 47 0.0767  13.0435     3.4362
 48 0.0783  12.7660     3.1311
 49 0.0800  12.5000     2.9509
 50 0.0817  12.2449     2.7162
 51 0.0833  12.0000     4.2694
 52 0.0850  11.7647     2.3972
 53 0.0867  11.5385     2.3082
 54 0.0883  11.3208     2.1412
 55 0.0900  11.1111     2.0779
 56 0.0917  10.9091     1.9314
 57 0.0933  10.7143     1.8885
 58 0.0950  10.5263     1.7593
 59 0.0967  10.3448     1.7350
 60 0.0983  10.1695     1.6256
 61 0.1000  10.0000     1.6308
 62 0.1017   9.8361     1.5969
 63 0.1033   9.6774     5.2114
 64 0.1050   9.5238     1.1494
 65 0.1067   9.3750     1.2351
 66 0.1083   9.2308     1.1590
 67 0.1100   9.0909     1.1785
 68 0.1117   8.9552     1.0883
 69 0.1133   8.8235     1.1045
 70 0.1150   8.6957     1.0139
 71 0.1167   8.5714     1.0318
 72 0.1183   8.4507     0.9424
 73 0.1200   8.3333     0.9627
 74 0.1217   8.2192     0.8742
 75 0.1233   8.1081     0.8965
 76 0.1250   8.0000     0.8077
 77 0.1267   7.8947     0.8307
 78 0.1283   7.7922     0.7390
 79 0.1300   7.6923     0.7597
 80 0.1317   7.5949     0.6575
 81 0.1333   7.5000     0.6646
 82 0.1350   7.4074     0.5175
 83 0.1367   7.3171     0.4524
 84 0.1383   7.2289     4.8321
 85 0.1400   7.1429     1.1347
 86 0.1417   7.0588     0.8650
 87 0.1433   6.9767     0.8202
 88 0.1450   6.8966     0.7196
 89 0.1467   6.8182     0.7311
 90 0.1483   6.7416     0.6505
 91 0.1500   6.6667     0.6763
 92 0.1517   6.5934     0.6016
 93 0.1533   6.5217     0.6337
 94 0.1550   6.4516     0.5612
 95 0.1567   6.3830     0.5968
 96 0.1583   6.3158     0.5249
 97 0.1600   6.2500     0.5625
 98 0.1617   6.1856     0.4894
 99 0.1633   6.1224     0.5277
100 0.1650   6.0606     0.4505
101 0.1667   6.0000     0.6950
102 0.1683   5.9406     0.3954
103 0.1700   5.8824     0.4188
104 0.1717   5.8252     0.4149
105 0.1733   5.7692     1.2129
106 0.1750   5.7143     0.6333
107 0.1767   5.6604     0.5802
108 0.1783   5.6075     0.4952
109 0.1800   5.5556     0.5162
110 0.1817   5.5046     0.4499
111 0.1833   5.4545     0.4837
112 0.1850   5.4054     0.4218
113 0.1867   5.3571     0.4606
114 0.1883   5.3097     0.4004
115 0.1900   5.2632     0.4418
116 0.1917   5.2174     0.3826
117 0.1933   5.1724     0.4257
118 0.1950   5.1282     0.3672
119 0.1967   5.0847     0.4117
120 0.1983   5.0420     0.3540
121 0.2000   5.0000     0.3995
122 0.2017   4.9587     0.3433
123 0.2033   4.9180     0.3907
124 0.2050   4.8780     0.3429
125 0.2067   4.8387     0.5698
126 0.2083   4.8000     2.3895
127 0.2100   4.7619     0.3545
128 0.2117   4.7244     0.2976
129 0.2133   4.6875     0.3482
130 0.2150   4.6512     0.2904
131 0.2167   4.6154     0.3401
132 0.2183   4.5802     0.2825
133 0.2200   4.5455     0.3320
134 0.2217   4.5113     0.2747
135 0.2233   4.4776     0.3242
136 0.2250   4.4444     0.2673
137 0.2267   4.4118     0.3168
138 0.2283   4.3796     0.2605
139 0.2300   4.3478     0.3099
140 0.2317   4.3165     0.2546
141 0.2333   4.2857     0.3038
142 0.2350   4.2553     0.2508
143 0.2367   4.2254     0.3000
144 0.2383   4.1958     0.2570
145 0.2400   4.1667     0.3336
146 0.2417   4.1379     1.0497
147 0.2433   4.1096     0.3015
148 0.2450   4.0816     0.2207
149 0.2467   4.0541     0.2799
150 0.2483   4.0268     0.2156
151 0.2500   4.0000     2.7733
152 0.2517   3.9735     0.2111
153 0.2533   3.9474     0.2682
154 0.2550   3.9216     0.2067
155 0.2567   3.8961     0.2637
156 0.2583   3.8710     0.2025
157 0.2600   3.8462     0.2598
158 0.2617   3.8217     0.1986
159 0.2633   3.7975     0.2567
160 0.2650   3.7736     0.1953
161 0.2667   3.7500     0.2552
162 0.2683   3.7267     0.1935
163 0.2700   3.7037     0.2579
164 0.2717   3.6810     0.1977
165 0.2733   3.6585     0.2878
166 0.2750   3.6364     0.3945
167 0.2767   3.6145     0.3509
168 0.2783   3.5928     0.1864
169 0.2800   3.5714     0.2199
170 0.2817   3.5503     0.1713
171 0.2833   3.5294     0.2190
172 0.2850   3.5088     0.1673
173 0.2867   3.4884     0.2176
174 0.2883   3.4682     0.1641
175 0.2900   3.4483     0.2157
176 0.2917   3.4286     0.9117
177 0.2933   3.4091     0.2138
178 0.2950   3.3898     0.1587
179 0.2967   3.3708     0.2121
180 0.2983   3.3520     0.1564
181 0.3000   3.3333     0.2109
182 0.3017   3.3149     0.1548
183 0.3033   3.2967     0.2112
184 0.3050   3.2787     0.1551
185 0.3067   3.2609     0.2175
186 0.3083   3.2432     0.1691
187 0.3100   3.2258     0.6061
188 0.3117   3.2086     0.1334
189 0.3133   3.1915     0.1792
190 0.3150   3.1746     0.1340
191 0.3167   3.1579     0.1843
192 0.3183   3.1414     0.1338
193 0.3200   3.1250     0.1847
194 0.3217   3.1088     0.1324
195 0.3233   3.0928     0.1839
196 0.3250   3.0769     0.1308
197 0.3267   3.0612     0.1826
198 0.3283   3.0457     0.1291
199 0.3300   3.0303     0.1812
200 0.3317   3.0151     0.1274
201 0.3333   3.0000     0.4717
202 0.3350   2.9851     0.1260
203 0.3367   2.9703     0.1793
204 0.3383   2.9557     0.1252
205 0.3400   2.9412     0.1803
206 0.3417   2.9268     0.1275
207 0.3433   2.9126     0.1969
208 0.3450   2.8986     0.1833
209 0.3467   2.8846     0.1507
210 0.3483   2.8708     0.1084
211 0.3500   2.8571     0.1591
212 0.3517   2.8436     0.1090
213 0.3533   2.8302     0.1589
214 0.3550   2.8169     0.1076
215 0.3567   2.8037     0.1571
216 0.3583   2.7907     0.1054
217 0.3600   2.7778     0.1543
218 0.3617   2.7650     0.1026
219 0.3633   2.7523     0.1505
220 0.3650   2.7397     0.0990
221 0.3667   2.7273     0.1453
222 0.3683   2.7149     0.0941
223 0.3700   2.7027     0.1372
224 0.3717   2.6906     0.0865
225 0.3733   2.6786     0.1227
226 0.3750   2.6667     0.0723
227 0.3767   2.6549     0.0881
228 0.3783   2.6432     0.1421
229 0.3800   2.6316     1.1014
230 0.3817   2.6201     0.2438
231 0.3833   2.6087     0.2496
232 0.3850   2.5974     0.1522
233 0.3867   2.5862     0.2051
234 0.3883   2.5751     0.1325
235 0.3900   2.5641     0.1894
236 0.3917   2.5532     0.1237
237 0.3933   2.5424     0.1811
238 0.3950   2.5316     0.1184
239 0.3967   2.5210     0.1758
240 0.3983   2.5105     0.1148
241 0.4000   2.5000     0.1722
242 0.4017   2.4896     0.1122
243 0.4033   2.4793     0.1695
244 0.4050   2.4691     0.1103
245 0.4067   2.4590     0.1676
246 0.4083   2.4490     0.1091
247 0.4100   2.4390     0.1673
248 0.4117   2.4291     0.1106
249 0.4133   2.4194     0.1944
250 0.4150   2.4096     0.0950
251 0.4167   2.4000     1.9773
252 0.4183   2.3904     0.1000
253 0.4200   2.3810     0.1562
254 0.4217   2.3715     0.0997
255 0.4233   2.3622     0.1555
256 0.4250   2.3529     0.0988
257 0.4267   2.3438     0.1544
258 0.4283   2.3346     0.0978
259 0.4300   2.3256     0.1532
260 0.4317   2.3166     0.0966
261 0.4333   2.3077     0.1517
262 0.4350   2.2989     0.0952
263 0.4367   2.2901     0.1499
264 0.4383   2.2814     0.0935
265 0.4400   2.2727     0.1473
266 0.4417   2.2642     0.0907
267 0.4433   2.2556     0.1424
268 0.4450   2.2472     0.0841
269 0.4467   2.2388     0.1214
270 0.4483   2.2305     2.3036
271 0.4500   2.2222     0.1830
272 0.4517   2.2140     0.1071
273 0.4533   2.2059     0.1608
274 0.4550   2.1978     0.1000
275 0.4567   2.1898     0.1557
276 0.4583   2.1818     2.4969
277 0.4600   2.1739     0.1529
278 0.4617   2.1661     0.0952
279 0.4633   2.1583     0.1507
280 0.4650   2.1505     0.0934
281 0.4667   2.1429     0.1485
282 0.4683   2.1352     0.0915
283 0.4700   2.1277     0.1458
284 0.4717   2.1201     0.0890
285 0.4733   2.1127     0.1419
286 0.4750   2.1053     0.0849
287 0.4767   2.0979     0.1344
288 0.4783   2.0906     0.0755
289 0.4800   2.0833     0.1109
290 0.4817   2.0761     0.0253
291 0.4833   2.0690     0.4761
292 0.4850   2.0619     0.1510
293 0.4867   2.0548     0.1919
294 0.4883   2.0478     0.1181
295 0.4900   2.0408     0.1751
296 0.4917   2.0339     0.1108
297 0.4933   2.0270     0.1696
298 0.4950   2.0202     0.1079
299 0.4967   2.0134     0.1673
300 0.4983   2.0067     0.1068
301 0.5000   2.0000     6.0000
302 0.5017   1.9934     0.1068
303 0.5033   1.9868     0.1673
304 0.5050   1.9802     0.1079
305 0.5067   1.9737     0.1696
306 0.5083   1.9672     0.1108
307 0.5100   1.9608     0.1751
308 0.5117   1.9544     0.1181
309 0.5133   1.9481     0.1919
310 0.5150   1.9417     0.1510
311 0.5167   1.9355     0.4761
312 0.5183   1.9293     0.0253
313 0.5200   1.9231     0.1109
314 0.5217   1.9169     0.0755
315 0.5233   1.9108     0.1344
316 0.5250   1.9048     0.0849
317 0.5267   1.8987     0.1419
318 0.5283   1.8927     0.0890
319 0.5300   1.8868     0.1458
320 0.5317   1.8809     0.0915
321 0.5333   1.8750     0.1485
322 0.5350   1.8692     0.0934
323 0.5367   1.8634     0.1507
324 0.5383   1.8576     0.0952
325 0.5400   1.8519     0.1529
326 0.5417   1.8462     2.4969
327 0.5433   1.8405     0.1557
328 0.5450   1.8349     0.1000
329 0.5467   1.8293     0.1608
330 0.5483   1.8237     0.1071
331 0.5500   1.8182     0.1830
332 0.5517   1.8127     2.3036
333 0.5533   1.8072     0.1214
334 0.5550   1.8018     0.0841
335 0.5567   1.7964     0.1424
336 0.5583   1.7910     0.0907
337 0.5600   1.7857     0.1473
338 0.5617   1.7804     0.0935
339 0.5633   1.7751     0.1499
340 0.5650   1.7699     0.0952
341 0.5667   1.7647     0.1517
342 0.5683   1.7595     0.0966
343 0.5700   1.7544     0.1532
344 0.5717   1.7493     0.0978
345 0.5733   1.7442     0.1544
346 0.5750   1.7391     0.0988
347 0.5767   1.7341     0.1555
348 0.5783   1.7291     0.0997
349 0.5800   1.7241     0.1562
350 0.5817   1.7192     0.1000
351 0.5833   1.7143     1.9773
352 0.5850   1.7094     0.0950
353 0.5867   1.7045     0.1944
354 0.5883   1.6997     0.1106
355 0.5900   1.6949     0.1673
356 0.5917   1.6901     0.1091
357 0.5933   1.6854     0.1676
358 0.5950   1.6807     0.1103
359 0.5967   1.6760     0.1695
360 0.5983   1.6713     0.1122
361 0.6000   1.6667     0.1722
362 0.6017   1.6620     0.1148
363 0.6033   1.6575     0.1758
364 0.6050   1.6529     0.1184
365 0.6067   1.6484     0.1811
366 0.6083   1.6438     0.1237
367 0.6100   1.6393     0.1894
368 0.6117   1.6349     0.1325
369 0.6133   1.6304     0.2051
370 0.6150   1.6260     0.1522
371 0.6167   1.6216     0.2496
372 0.6183   1.6173     0.2438
373 0.6200   1.6129     1.1014
374 0.6217   1.6086     0.1421
375 0.6233   1.6043     0.0881
376 0.6250   1.6000     0.0723
377 0.6267   1.5957     0.1227
378 0.6283   1.5915     0.0865
379 0.6300   1.5873     0.1372
380 0.6317   1.5831     0.0941
381 0.6333   1.5789     0.1453
382 0.6350   1.5748     0.0990
383 0.6367   1.5707     0.1505
384 0.6383   1.5666     0.1026
385 0.6400   1.5625     0.1543
386 0.6417   1.5584     0.1054
387 0.6433   1.5544     0.1571
388 0.6450   1.5504     0.1076
389 0.6467   1.5464     0.1589
390 0.6483   1.5424     0.1090
391 0.6500   1.5385     0.1591
392 0.6517   1.5345     0.1084
393 0.6533   1.5306     0.1507
394 0.6550   1.5267     0.1833
395 0.6567   1.5228     0.1969
396 0.6583   1.5190     0.1275
397 0.6600   1.5152     0.1803
398 0.6617   1.5113     0.1252
399 0.6633   1.5075     0.1793
400 0.6650   1.5038     0.1260
401 0.6667   1.5000     0.4717
402 0.6683   1.4963     0.1274
403 0.6700   1.4925     0.1812
404 0.6717   1.4888     0.1291
405 0.6733   1.4851     0.1826
406 0.6750   1.4815     0.1308
407 0.6767   1.4778     0.1839
408 0.6783   1.4742     0.1324
409 0.6800   1.4706     0.1847
410 0.6817   1.4670     0.1338
411 0.6833   1.4634     0.1843
412 0.6850   1.4599     0.1340
413 0.6867   1.4563     0.1792
414 0.6883   1.4528     0.1334
415 0.6900   1.4493     0.6061
416 0.6917   1.4458     0.1691
417 0.6933   1.4423     0.2175
418 0.6950   1.4388     0.1551
419 0.6967   1.4354     0.2112
420 0.6983   1.4320     0.1548
421 0.7000   1.4286     0.2109
422 0.7017   1.4252     0.1564
423 0.7033   1.4218     0.2121
424 0.7050   1.4184     0.1587
425 0.7067   1.4151     0.2138
426 0.7083   1.4118     0.9117
427 0.7100   1.4085     0.2157
428 0.7117   1.4052     0.1641
429 0.7133   1.4019     0.2176
430 0.7150   1.3986     0.1673
431 0.7167   1.3953     0.2190
432 0.7183   1.3921     0.1713
433 0.7200   1.3889     0.2199
434 0.7217   1.3857     0.1864
435 0.7233   1.3825     0.3509
436 0.7250   1.3793     0.3945
437 0.7267   1.3761     0.2878
438 0.7283   1.3730     0.1977
439 0.7300   1.3699     0.2579
440 0.7317   1.3667     0.1935
441 0.7333   1.3636     0.2552
442 0.7350   1.3605     0.1953
443 0.7367   1.3575     0.2567
444 0.7383   1.3544     0.1986
445 0.7400   1.3514     0.2598
446 0.7417   1.3483     0.2025
447 0.7433   1.3453     0.2637
448 0.7450   1.3423     0.2067
449 0.7467   1.3393     0.2682
450 0.7483   1.3363     0.2111
451 0.7500   1.3333     2.7733
452 0.7517   1.3304     0.2156
453 0.7533   1.3274     0.2799
454 0.7550   1.3245     0.2207
455 0.7567   1.3216     0.3015
456 0.7583   1.3187     1.0497
457 0.7600   1.3158     0.3336
458 0.7617   1.3129     0.2570
459 0.7633   1.3100     0.3000
460 0.7650   1.3072     0.2508
461 0.7667   1.3043     0.3038
462 0.7683   1.3015     0.2546
463 0.7700   1.2987     0.3099
464 0.7717   1.2959     0.2605
465 0.7733   1.2931     0.3168
466 0.7750   1.2903     0.2673
467 0.7767   1.2876     0.3242
468 0.7783   1.2848     0.2747
469 0.7800   1.2821     0.3320
470 0.7817   1.2793     0.2825
471 0.7833   1.2766     0.3401
472 0.7850   1.2739     0.2904
473 0.7867   1.2712     0.3482
474 0.7883   1.2685     0.2976
475 0.7900   1.2658     0.3545
476 0.7917   1.2632     2.3895
477 0.7933   1.2605     0.5698
478 0.7950   1.2579     0.3429
479 0.7967   1.2552     0.3907
480 0.7983   1.2526     0.3433
481 0.8000   1.2500     0.3995
482 0.8017   1.2474     0.3540
483 0.8033   1.2448     0.4117
484 0.8050   1.2422     0.3672
485 0.8067   1.2397     0.4257
486 0.8083   1.2371     0.3826
487 0.8100   1.2346     0.4418
488 0.8117   1.2320     0.4004
489 0.8133   1.2295     0.4606
490 0.8150   1.2270     0.4218
491 0.8167   1.2245     0.4837
492 0.8183   1.2220     0.4499
493 0.8200   1.2195     0.5162
494 0.8217   1.2170     0.4952
495 0.8233   1.2146     0.5802
496 0.8250   1.2121     0.6333
497 0.8267   1.2097     1.2129
498 0.8283   1.2072     0.4149
499 0.8300   1.2048     0.4188
500 0.8317   1.2024     0.3954
501 0.8333   1.2000     0.6950
502 0.8350   1.1976     0.4505
503 0.8367   1.1952     0.5277
504 0.8383   1.1928     0.4894
505 0.8400   1.1905     0.5625
506 0.8417   1.1881     0.5249
507 0.8433   1.1858     0.5968
508 0.8450   1.1834     0.5612
509 0.8467   1.1811     0.6337
510 0.8483   1.1788     0.6016
511 0.8500   1.1765     0.6763
512 0.8517   1.1742     0.6505
513 0.8533   1.1719     0.7311
514 0.8550   1.1696     0.7196
515 0.8567   1.1673     0.8202
516 0.8583   1.1650     0.8650
517 0.8600   1.1628     1.1347
518 0.8617   1.1605     4.8321
519 0.8633   1.1583     0.4524
520 0.8650   1.1561     0.5175
521 0.8667   1.1538     0.6646
522 0.8683   1.1516     0.6575
523 0.8700   1.1494     0.7597
524 0.8717   1.1472     0.7390
525 0.8733   1.1450     0.8307
526 0.8750   1.1429     0.8077
527 0.8767   1.1407     0.8965
528 0.8783   1.1385     0.8742
529 0.8800   1.1364     0.9627
530 0.8817   1.1342     0.9424
531 0.8833   1.1321     1.0318
532 0.8850   1.1299     1.0139
533 0.8867   1.1278     1.1045
534 0.8883   1.1257     1.0883
535 0.8900   1.1236     1.1785
536 0.8917   1.1215     1.1590
537 0.8933   1.1194     1.2351
538 0.8950   1.1173     1.1494
539 0.8967   1.1152     5.2114
540 0.8983   1.1132     1.5969
541 0.9000   1.1111     1.6308
542 0.9017   1.1091     1.6256
543 0.9033   1.1070     1.7350
544 0.9050   1.1050     1.7593
545 0.9067   1.1029     1.8885
546 0.9083   1.1009     1.9314
547 0.9100   1.0989     2.0779
548 0.9117   1.0969     2.1412
549 0.9133   1.0949     2.3082
550 0.9150   1.0929     2.3972
551 0.9167   1.0909     4.2694
552 0.9183   1.0889     2.7162
553 0.9200   1.0870     2.9509
554 0.9217   1.0850     3.1311
555 0.9233   1.0830     3.4362
556 0.9250   1.0811     3.7277
557 0.9267   1.0791     4.2177
558 0.9283   1.0772     4.9611
559 0.9300   1.0753     7.7598
560 0.9317   1.0733     0.8665
561 0.9333   1.0714     3.4350
562 0.9350   1.0695     4.3333
563 0.9367   1.0676     5.1047
564 0.9383   1.0657     5.7874
565 0.9400   1.0638     6.6090
566 0.9417   1.0619     7.4799
567 0.9433   1.0601     8.5797
568 0.9450   1.0582     9.8560
569 0.9467   1.0563    11.4988
570 0.9483   1.0545    13.5499
571 0.9500   1.0526    16.2750
572 0.9517   1.0508    19.9459
573 0.9533   1.0490    25.1268
574 0.9550   1.0471    32.8288
575 0.9567   1.0453    44.9906
576 0.9583   1.0435  9011.0018
577 0.9600   1.0417   108.5316
578 0.9617   1.0399   215.2119
579 0.9633   1.0381   643.6224
580 0.9650   1.0363 11020.7997
581 0.9667   1.0345  2136.9626
582 0.9683   1.0327   339.5142
583 0.9700   1.0309   127.6647
584 0.9717   1.0292    64.1001
585 0.9733   1.0274    37.6071
586 0.9750   1.0256    23.8493
587 0.9767   1.0239    16.2616
588 0.9783   1.0221    11.3051
589 0.9800   1.0204     8.2993
590 0.9817   1.0187     6.0006
591 0.9833   1.0169     4.6021
592 0.9850   1.0152     3.3605
593 0.9867   1.0135     2.6604
594 0.9883   1.0118     1.9197
595 0.9900   1.0101     1.5719
596 0.9917   1.0084     1.1022
597 0.9933   1.0067     0.9562
598 0.9950   1.0050     0.6520
599 0.9967   1.0033     0.6384
600 0.9983   1.0017     0.4508

tsplot(Freq, Per, type='h', lwd=3, ylab="Periodogram", xlab="Frequency")

tsplot(Freq[1:50], Per[1:50], type='h', lwd=3, ylab="Periodogram", xlab="Frequency")
text(.05,  7000, "24 day cycle") 
text(.027, 9000, "29 day cycle")

• El periodograma muestra ciclos de:
  • 29 \((\approx 1/0.035)\) y
  • 24 \((\approx 1/0.041)\) días.
• Esto ocurre debido a un ruido de observación de la frecuencia real \(\omega \pm \delta\). Ver el ejemplo 4.3 de Shumway & Stoffer. La solución es usar periodograma suavizado.

En la próxima clase veremos

Representación espectral de procesos estacionarios.

• Es necesario entender los fundamentos teóricos de los conceptos de frecuencia (poblacional) antes de entrar al caso cuando se tiene series observadas (muestral).

• Vamos a ver la definición de la densidad espectral y su relación con un proceso estacionario.

Paquetes en R

Para replicar los ejemplos de esta presentación, necesitan estos paquetes:

library(ggplot2)
library(forecast)
library(fpp2)
library(astsa)
library(tidyverse)
library(TSA)