Tema 1: Análisis espectral de series temporales(3)

Curso: Tópicos Avanzados de Series Temporales

Shu Wei Chou Chen
shuwei.chou@ucr.ac.cr

Escuela de Estadística, Universidad de Costa Rica

Representación espectral de procesos estacionarios

Contenido

  1. Representación espectral de procesos estacionarios

  2. La densidad espectral de un modelo ARMA

  3. Periodograma y la Transformada Discreta de Fourier

  4. Ejemplos

Representación espectral de procesos estacionarios

  • Es necesario entender los fundamentos teóricos de los conceptos de frecuencia (poblacional) antes de entrar al caso cuando se tiene series observadas (muestral).

  • Empezamos a definir la densidad espectral y su relación con un proceso estacionario.

Propiedad 1: Representación espectral de una función de autocovariancia

Si \(\left\lbrace x_t \right\rbrace\) es un proceso estacionario con función de autocovariancia \(\gamma(h)=Cov(x_{t+h},x_t)\), entonces existe una única función monótonamente creciente \(F(\omega)\), llamada función de distribución espectral, con

  • \(F\left(-\infty\right)=F\left(-\frac{1}{2}\right)=0\) y

  • \(F(\infty)=F\left(\frac{1}{2}\right)=\gamma(0),\)

tal que

\[\gamma(h)= \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{2\pi i\omega h} dF(\omega).\]

Nota: Esta propiedad usa el concepto de integral de Riemann-Stieltjes (ver C.4, Shumway & Stoffer). Cuando la función de autocovariancia es absolutamente sumable, esa función de distribución espectral es absolutamente continua con \(dF(\omega)=f(\omega)d\omega\).

Propiedad 2: Densidad espectral

Si la función de autocovariancia \(\gamma(h)\), de un proceso estacionario satisface la condición \[\sum_{h=-\infty}^{\infty} |\gamma(h)|< \infty\] entonces tiene la representación \[\gamma(h)= \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{2\pi i\omega h} f(\omega)d\omega,~~~ h=0,\pm 1,\pm 2,...\] y la transformación inversa de la densidad espectral \[f(\omega) = \sum_{h=-\infty}^{\infty} \gamma(h) e^{-2 \pi i \omega h}, ~~~~~~ -\frac{1}{2} \leq \omega \leq \frac{1}{2}.\]

Algunas propiedades de la densidad espectral:

  • \(f(\omega) \geq 0\) para todo \(\omega\),

debido a que \(\gamma(h)\) es definida no negativa.

  • \(f(\omega)=f(-\omega)\).

  • \(\gamma(0)= Var(x_t) = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} f(\omega)d\omega\).

Nota

  • La función de autocovariancia y la función de distribución espectral contiene la misma información.

  • La ACF expresa la información en término de rezagos (tiempo), mientras que la distribución espectral expresa la misma información en término de ciclos (frecuencias).

Ruido blanco

  • Sea \(w_t \sim wn(0,\sigma_w^2)\).

  • La ACF está dada por:

\[\gamma_w(h)=\left\lbrace \begin{aligned} \sigma_w^2, & & h = 0 \\ 0, & & h \neq 0. \end{aligned} \right.\]

  • Su densidad espectral está dada por: \[f_w(\omega)=\sigma_w^2,\] para \(-1/2 \leq \omega \leq 1/2\).
  • Simulación de una colección de \(w_t \sim N(0,1)\) con \(T=500\).

La densidad espectral de un modelo ARMA

Contenido

  1. Representación espectral de procesos estacionarios

  2. La densidad espectral de un modelo ARMA

  3. Periodograma y la Transformada Discreta de Fourier

  4. Ejemplos

Proceso lineal

  • Como un proceso lineal es una herramienta que engloba varios modelos de series estacionarias (ej: ARMA), es importante presentar los resultados teóricos correspondientes.

  • Un filtro lineal utiliza coeficientes \(a_j, j=0,\pm1,...\), para transformar una serie input \(x_t\) a una serie ouput \(y_t\):

\[y_t=\sum_{j=-\infty}^{\infty}a_j x_{t-j},~~~ \sum_{j=-\infty}^{\infty}|a_j| < \infty.\]

Propiedad: El espectro de una serie estacionaria filtrada

Si \(f_X(\omega)\) es la densidad espectral de \(x_t\), una serie estacionaria. Entonces, la densidad espectral \(f_Y(\omega)\) de la serie filtrada (output) está dada por: \[f_Y(\omega)=|A(\omega)|^2 f_X(\omega),\] donde \[A(\omega)=\sum_{j=-\infty}^{\infty} a_j e^{-2\pi i \omega j}\] es llamada la función respuesta de frecuencia.

Nota

\(A(\omega)\) es la transformada discreta de Fourier de \(a_j\).

  • Un proceso ARMA es un caso particular de un proceso lineal. Recuerde que un proceso ARMA(p,q) se define como:

\[x_t=\phi_1 x_{t-1}+\phi_2 x_{t-2}+...+\phi_p x_{t-p}\] \[+w_t-\theta_1 w_{t-1}-\theta_2 w_{t-2}-...-\theta_q w_{t-q}\]

  • Utilizando los operadores de rezagos, el ARMA(p,q) se puede escribir como

\[\phi(B)x_t=\theta(B)w_t,\] donde:
\(\phi(B)=1-\phi_1 B -\phi_2 B^2-...-\phi_p B^p\) es el operador autoregresivo.
\(\theta(B)=1-\theta_1 B-\theta_2 B^2-...-\theta_q B^q\) es el operador de medias móviles.

Un proceso ARMA(p,q) estacionario e invertible se puede escribir como:

\[x_t=\phi(B)^{-1}\theta(B)w_t,\]

Propiedad: La densidad espectral de un modelo ARMA

Si \(x_t\) es ARMA(p,q):

Su densidad espectral es dada por

\[f_X(\omega)=\sigma_w^2 \frac{|\theta(e^{-2 \pi i \omega})|^2}{|\phi(e^{-2 \pi i \omega})|^2}.\]

Conceptos de números complejos

  • No vamos a ver con detalles la teoría de los números complejos, pero una breve introducción de la definición y algunas propiedades son útiles para el curso.

  • Usualmente, se denota un número complejo como \(z=x+iy\), donde \(i^2=-1\).

    • \(x\): la parte real y \(y\): la parte imaginaria.

  • Los números complejos son pares de números reales:

\[\mathbb{C} := \left\lbrace (x,y): x,y \in \mathbb{R} \right\rbrace.\]

con dos operaciones:

  • Adición: \((x,y)+(a,b):= (x+a,y+b)\) y

  • Multiplicación: \((x,y) \cdot (a,b) := (xa-yb, xb+ya)\).

  • \(\mathbb{C}\) es una extensión de \(\mathbb{R}\), pues los números complejos de forma \((x,0)\) se comporta de forma identica a los números reales.

\[(x,0)+(a,0):= (x+a,0)~~, ~~\text{y} ~~ (x,0) \cdot (a,0) := (xa, 0).\]

Algunas definiciones y propiedades

Sean \(z,z_1,z_2 \in \mathbb{C}\), y \(\phi, \phi_1,\phi_2 \in \mathbb{R}\).

  • El valor absoluto (módulo) de \(z\): \(|z|= \sqrt{x^2+y^2}\).
  • La función exponencia de \(z\): \(e^{i\phi}=\cos \phi + i \sin \phi\).
  • \(e^{i\phi_1}e^{i\phi_2}=e^{i(\phi_1+\phi_2)}\).
  • \(e^{i0}=1\).
  • \(\frac{1}{e^{i\phi}}=e^{-i\phi}\).
  • \(e^{i(\phi+2\pi)}= e^{i\phi}\)
  • \(\left| e^{i\phi} \right|=1\)
  • \(\frac{d}{d\phi}e^{i\phi} = i e^{i \phi}\)
  • La conjugada compleja de \(z\): \(\overline{z}=\overline{x+iy}=x-iy\).
  • \(\overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1} \pm \overline{z_2}\).
  • \(\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}\).
  • \(\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\).
  • \(\overline{\overline{z}}=z\)
  • \(|\overline{z}|=|z|\).
  • \(|z|^2 = x^2+y^2 = (x+iy)(x-iy)|z|^2 = z \overline{z}\).
  • \(\overline{e^{i\phi}}= e^{-i\phi}\).

Ejemplos

MA(1):

  • Considere \(X_t=w_t+0.5 w_{t-1}\).

  • El operador de medias móviles es \(\theta(B)=1+0.5 B\).

  • Entonces,

\[f_X(\omega)=\sigma_w^2 \left|\theta(e^{-2 \pi i \omega})\right|^2\] \[=\sigma_w^2 \left|1+0.5 e^{-2 \pi i \omega}\right|^2\] \[=\sigma_w^2 (1+0.5 e^{-2 \pi i \omega})(1+0.5 e^{2 \pi i \omega})\] \[=\sigma_w^2 \left[1.25 + 0.5 \left(e^{-2 \pi i \omega}+e^{2 \pi \omega}\right)\right]\] :::

AR(2):

  • Considere \(X_t-X_{t-1}+0.9X_{t-2}=w_t\).

  • El operador autorregresivo es \(\phi(B)=1-B+0.9 B^2\).

  • Entonces, \[|\phi(e^{-2 \pi i \omega})|^2=(1-e^{-2 \pi i \omega}+0.9 e^{-4 \pi i \omega})(1-e^{2 \pi i \omega}+0.9 e^{4 \pi i \omega})\] \[=2.81-3.8 \cos(2\pi\omega)+1.8 \cos(4\pi\omega).\]

  • De esta forma,

\[f_X(\omega)=\sigma_w^2 \frac{1}{2.81-3.8 \cos(2\pi\omega)+1.8 \cos(4\pi\omega)}.\]

Periodograma y la Transformada Discreta de Fourier

Contenido

  1. Representación espectral de procesos estacionarios

  2. La densidad espectral de un modelo ARMA

  3. Periodograma y la Transformada Discreta de Fourier

  4. Ejemplos

Periodograma y la Transformada Discreta de Fourier

  • A continuación, presentamos los conceptos equivalentes de la representación espectral pero al caso de series temporales observadas de forma discreta.

  • Sea \(x_1,...,x_T\) una serie temporal observada. Defina la Transformada Discreta de Fourier (DFT): \[d(\omega_j)= T^{-1/2}\sum_{t=1}^T x_t e^{-2 \pi i \omega_j t},~~~ \text{para}~ j=0,1,...,T-1,\] donde frecuencias \(\omega_j=\frac{j}{n}\) son llamadas frecuencias fundamentales o de Fourier.

  • DFT requiere \(T^2\) operaciones complejas. Cuando \(T\) es grande, es más factible usar la Transformada Rápida de Fourier (FFT), propuesta por Cooley y Tukey que requiere únicamente \(T \ln T\) operaciones.

  • Esta transformada es una transformación lineal uno a uno, i.e.

  • Dada \(x_1,...,x_T\) una serie temporal observada. Su Transformada Discreta de Fourier (DFT) es dada por: \[d(\omega_j)=T^{-1/2}\sum_{t=1}^T x_t e^{-2 \pi i \omega_j t},~~~ \text{para}~ j=0,1,...,T-1,\]

  • Se puede definir la DFT inversa

\[x_t=T^{-1/2}\sum_{t=1}^{T-1} d(\omega_j) e^{2 \pi i \omega_j t},~~~ \text{para}~~ t=1,...,T.\]

  • Sea \(x_1,...,x_T\) una serie temporal observada. Defina el periodograma:

\[I(\omega_j)=|d(\omega_j)|^2,~~~ \text{para}~ j=0,1,...,T-1,\]

  • Se puede comprobar que:

\[I(\omega)=|d(\omega_j)|^2=\sum_{h=-(T-1)}^{T-1} \hat{\gamma}(h) e^{-2 \pi i \omega_j h},~~~ \text{para}~~ t= 1,...,T,\]

donde \(\hat{\gamma}(h)\) es la función de autocovariancia muestral.

  • Se puede interpretar el periodograma como la densidad espectral muestral de \(x_t\).

Propiedades del periodograma

  • Se puede comprobar que:

\[E[I(\omega_j)]=\sum_{h=-(T-1)}^{T-1} \frac{T-|h|}{T} \gamma(h) e^{-2 \pi i \omega_j h}.\]

  • Además, cuando \(T \rightarrow \infty\),

\[E[I(\omega_{j:T})] \rightarrow f(\omega)=\sum_{h=-\infty}^{\infty} \gamma(h) e^{-2 \pi i h \omega},\] donde \(\omega_{j:T}=\frac{j_T}{T}\) es una secuencia que tiende a \(\omega\).

Propiedad: Distribución del periodograma

  • Sea \[x_t=\sum_{j=-\infty}^\infty \psi_j w_{t-j},~~~~~\sum_{j=-\infty}^\infty |\psi_j| < \infty,\] donde \(w_t \sim iid(0,\sigma_w^2)\). Si \(\sum\limits_{h=-\infty}^\infty |h| |\gamma(h)| < \infty\), entonces para cualquier colección de \(m\) frecuencias distintas \(\omega_j \in \{0,1/2\}\) con \(\omega_{j:T}\rightarrow \omega_j\)

\[\frac{2 I(\omega_{j:T})}{f(\omega_j)} \rightarrow \chi^2_2.\]

  • Como consecuencia, se puede construir un intervalo de confianza de \(100(1-\alpha)\%\), con \[\frac{2 I(\omega_{j:T})}{\chi^2_2(1-\alpha/2)}<f(\omega)<\frac{2 I(\omega_{j:T})}{\chi^2_2(\alpha/2)}\]

Ejemplos

Contenido

  1. Representación espectral de procesos estacionarios

  2. La densidad espectral de un modelo ARMA

  3. Periodograma y la Transformada Discreta de Fourier

  4. Ejemplos

Consideraciones importantes en la práctica

  • En la práctica, es común encontrar series con tendencias.
  • La presencia de tendencias produce frecuencias bajas extremas que ocultan la apariencia de frecuencias altas.
  • Por lo tanto, se debe eliminar la tendencia utilizando algún método (regresión lineal, cuadrática, medias móviles, etc.)

El Niño y la población de peces (SOI y reclutamiento)

  • Se tiene la serie ambiental de índice de oscilación del sur (SOI, Southern Oscillation Index), y la serie de número de peces nuevos (Reclutamiento) de 453 meses de 1950 a 1987.
  • SOI mide cambios en presión relacionada a la temperatura del superficie del mar en el oceano pacífico central, el cual se calienta cada 3-7 años por el efecto El Niño.
library(astsa)
par(mfrow = c(2,1)) 
tsplot(soi, ylab="", main="SOI")
tsplot(rec, ylab="", main="Reclutamiento")

SOI y reclutamiento

par(mfrow=c(2,1))
soi.per = mvspec(soi)             
abline(v=1/4, lty="dotted")
rec.per = mvspec(rec) 
abline(v=1/4, lty="dotted")

  • El eje X muestra múltiplos de \(\Delta=\frac{1}{12}\).
  • Ambos periodogramas muestran el principal pico cuando \(\omega=1\Delta=\frac{1}{12}\).
  • Además, una posible potencia alrededor de \(\omega=\frac{1}{4}\Delta=\frac{1}{48}.\), representando el efecto del Niño que tiene la característica de tener el ciclo irregular.
soi.per$details 
       frequency  period spectrum
  [1,]     0.025 40.0000   0.0092
  [2,]     0.050 20.0000   0.0497
  [3,]     0.075 13.3333   0.0120
  [4,]     0.100 10.0000   0.0086
  [5,]     0.125  8.0000   0.0152
  [6,]     0.150  6.6667   0.0338
  [7,]     0.175  5.7143   0.0239
  [8,]     0.200  5.0000   0.1064
  [9,]     0.225  4.4444   0.0309
 [10,]     0.250  4.0000   0.0537
 [11,]     0.275  3.6364   0.0754
 [12,]     0.300  3.3333   0.0567
 [13,]     0.325  3.0769   0.0142
 [14,]     0.350  2.8571   0.0507
 [15,]     0.375  2.6667   0.0222
 [16,]     0.400  2.5000   0.0105
 [17,]     0.425  2.3529   0.0270
 [18,]     0.450  2.2222   0.0190
 [19,]     0.475  2.1053   0.0519
 [20,]     0.500  2.0000   0.0101
 [21,]     0.525  1.9048   0.0102
 [22,]     0.550  1.8182   0.0043
 [23,]     0.575  1.7391   0.0266
 [24,]     0.600  1.6667   0.0062
 [25,]     0.625  1.6000   0.0241
 [26,]     0.650  1.5385   0.0093
 [27,]     0.675  1.4815   0.0133
 [28,]     0.700  1.4286   0.0054
 [29,]     0.725  1.3793   0.0086
 [30,]     0.750  1.3333   0.0040
 [31,]     0.775  1.2903   0.0111
 [32,]     0.800  1.2500   0.0097
 [33,]     0.825  1.2121   0.0009
 [34,]     0.850  1.1765   0.0006
 [35,]     0.875  1.1429   0.0046
 [36,]     0.900  1.1111   0.0110
 [37,]     0.925  1.0811   0.0044
 [38,]     0.950  1.0526   0.0143
 [39,]     0.975  1.0256   0.0167
 [40,]     1.000  1.0000   0.9722
 [41,]     1.025  0.9756   0.0054
 [42,]     1.050  0.9524   0.0158
 [43,]     1.075  0.9302   0.0027
 [44,]     1.100  0.9091   0.0292
 [45,]     1.125  0.8889   0.0099
 [46,]     1.150  0.8696   0.0006
 [47,]     1.175  0.8511   0.0045
 [48,]     1.200  0.8333   0.0063
 [49,]     1.225  0.8163   0.0008
 [50,]     1.250  0.8000   0.0075
 [51,]     1.275  0.7843   0.0118
 [52,]     1.300  0.7692   0.0008
 [53,]     1.325  0.7547   0.0062
 [54,]     1.350  0.7407   0.0048
 [55,]     1.375  0.7273   0.0110
 [56,]     1.400  0.7143   0.0050
 [57,]     1.425  0.7018   0.0010
 [58,]     1.450  0.6897   0.0002
 [59,]     1.475  0.6780   0.0014
 [60,]     1.500  0.6667   0.0021
 [61,]     1.525  0.6557   0.0016
 [62,]     1.550  0.6452   0.0031
 [63,]     1.575  0.6349   0.0002
 [64,]     1.600  0.6250   0.0018
 [65,]     1.625  0.6154   0.0061
 [66,]     1.650  0.6061   0.0000
 [67,]     1.675  0.5970   0.0050
 [68,]     1.700  0.5882   0.0043
 [69,]     1.725  0.5797   0.0098
 [70,]     1.750  0.5714   0.0039
 [71,]     1.775  0.5634   0.0014
 [72,]     1.800  0.5556   0.0035
 [73,]     1.825  0.5479   0.0010
 [74,]     1.850  0.5405   0.0004
 [75,]     1.875  0.5333   0.0001
 [76,]     1.900  0.5263   0.0014
 [77,]     1.925  0.5195   0.0026
 [78,]     1.950  0.5128   0.0015
 [79,]     1.975  0.5063   0.0002
 [80,]     2.000  0.5000   0.0393
 [81,]     2.025  0.4938   0.0178
 [82,]     2.050  0.4878   0.0050
 [83,]     2.075  0.4819   0.0246
 [84,]     2.100  0.4762   0.0343
 [85,]     2.125  0.4706   0.0053
 [86,]     2.150  0.4651   0.0022
 [87,]     2.175  0.4598   0.0035
 [88,]     2.200  0.4545   0.0061
 [89,]     2.225  0.4494   0.0138
 [90,]     2.250  0.4444   0.0046
 [91,]     2.275  0.4396   0.0106
 [92,]     2.300  0.4348   0.0057
 [93,]     2.325  0.4301   0.0017
 [94,]     2.350  0.4255   0.0070
 [95,]     2.375  0.4211   0.0031
 [96,]     2.400  0.4167   0.0008
 [97,]     2.425  0.4124   0.0035
 [98,]     2.450  0.4082   0.0023
 [99,]     2.475  0.4040   0.0021
[100,]     2.500  0.4000   0.0049
[101,]     2.525  0.3960   0.0041
[102,]     2.550  0.3922   0.0030
[103,]     2.575  0.3883   0.0123
[104,]     2.600  0.3846   0.0073
[105,]     2.625  0.3810   0.0084
[106,]     2.650  0.3774   0.0064
[107,]     2.675  0.3738   0.0016
[108,]     2.700  0.3704   0.0012
[109,]     2.725  0.3670   0.0030
[110,]     2.750  0.3636   0.0016
[111,]     2.775  0.3604   0.0058
[112,]     2.800  0.3571   0.0025
[113,]     2.825  0.3540   0.0014
[114,]     2.850  0.3509   0.0095
[115,]     2.875  0.3478   0.0149
[116,]     2.900  0.3448   0.0034
[117,]     2.925  0.3419   0.0018
[118,]     2.950  0.3390   0.0055
[119,]     2.975  0.3361   0.0007
[120,]     3.000  0.3333   0.0472
[121,]     3.025  0.3306   0.0026
[122,]     3.050  0.3279   0.0086
[123,]     3.075  0.3252   0.0194
[124,]     3.100  0.3226   0.0019
[125,]     3.125  0.3200   0.0019
[126,]     3.150  0.3175   0.0018
[127,]     3.175  0.3150   0.0001
[128,]     3.200  0.3125   0.0095
[129,]     3.225  0.3101   0.0015
[130,]     3.250  0.3077   0.0035
[131,]     3.275  0.3053   0.0014
[132,]     3.300  0.3030   0.0002
[133,]     3.325  0.3008   0.0073
[134,]     3.350  0.2985   0.0037
[135,]     3.375  0.2963   0.0019
[136,]     3.400  0.2941   0.0003
[137,]     3.425  0.2920   0.0102
[138,]     3.450  0.2899   0.0138
[139,]     3.475  0.2878   0.0062
[140,]     3.500  0.2857   0.0003
[141,]     3.525  0.2837   0.0010
[142,]     3.550  0.2817   0.0029
[143,]     3.575  0.2797   0.0077
[144,]     3.600  0.2778   0.0073
[145,]     3.625  0.2759   0.0069
[146,]     3.650  0.2740   0.0007
[147,]     3.675  0.2721   0.0047
[148,]     3.700  0.2703   0.0049
[149,]     3.725  0.2685   0.0111
[150,]     3.750  0.2667   0.0133
[151,]     3.775  0.2649   0.0054
[152,]     3.800  0.2632   0.0017
[153,]     3.825  0.2614   0.0103
[154,]     3.850  0.2597   0.0032
[155,]     3.875  0.2581   0.0034
[156,]     3.900  0.2564   0.0007
[157,]     3.925  0.2548   0.0038
[158,]     3.950  0.2532   0.0028
[159,]     3.975  0.2516   0.0027
[160,]     4.000  0.2500   0.0055
[161,]     4.025  0.2484   0.0063
[162,]     4.050  0.2469   0.0019
[163,]     4.075  0.2454   0.0022
[164,]     4.100  0.2439   0.0026
[165,]     4.125  0.2424   0.0053
[166,]     4.150  0.2410   0.0056
[167,]     4.175  0.2395   0.0002
[168,]     4.200  0.2381   0.0050
[169,]     4.225  0.2367   0.0012
[170,]     4.250  0.2353   0.0067
[171,]     4.275  0.2339   0.0042
[172,]     4.300  0.2326   0.0033
[173,]     4.325  0.2312   0.0030
[174,]     4.350  0.2299   0.0002
[175,]     4.375  0.2286   0.0002
[176,]     4.400  0.2273   0.0049
[177,]     4.425  0.2260   0.0027
[178,]     4.450  0.2247   0.0107
[179,]     4.475  0.2235   0.0023
[180,]     4.500  0.2222   0.0016
[181,]     4.525  0.2210   0.0000
[182,]     4.550  0.2198   0.0045
[183,]     4.575  0.2186   0.0016
[184,]     4.600  0.2174   0.0142
[185,]     4.625  0.2162   0.0026
[186,]     4.650  0.2151   0.0006
[187,]     4.675  0.2139   0.0001
[188,]     4.700  0.2128   0.0057
[189,]     4.725  0.2116   0.0001
[190,]     4.750  0.2105   0.0005
[191,]     4.775  0.2094   0.0023
[192,]     4.800  0.2083   0.0059
[193,]     4.825  0.2073   0.0070
[194,]     4.850  0.2062   0.0057
[195,]     4.875  0.2051   0.0032
[196,]     4.900  0.2041   0.0026
[197,]     4.925  0.2030   0.0037
[198,]     4.950  0.2020   0.0028
[199,]     4.975  0.2010   0.0001
[200,]     5.000  0.2000   0.0064
[201,]     5.025  0.1990   0.0023
[202,]     5.050  0.1980   0.0016
[203,]     5.075  0.1970   0.0042
[204,]     5.100  0.1961   0.0029
[205,]     5.125  0.1951   0.0049
[206,]     5.150  0.1942   0.0010
[207,]     5.175  0.1932   0.0047
[208,]     5.200  0.1923   0.0016
[209,]     5.225  0.1914   0.0006
[210,]     5.250  0.1905   0.0014
[211,]     5.275  0.1896   0.0024
[212,]     5.300  0.1887   0.0038
[213,]     5.325  0.1878   0.0049
[214,]     5.350  0.1869   0.0055
[215,]     5.375  0.1860   0.0103
[216,]     5.400  0.1852   0.0002
[217,]     5.425  0.1843   0.0006
[218,]     5.450  0.1835   0.0044
[219,]     5.475  0.1826   0.0002
[220,]     5.500  0.1818   0.0022
[221,]     5.525  0.1810   0.0010
[222,]     5.550  0.1802   0.0028
[223,]     5.575  0.1794   0.0071
[224,]     5.600  0.1786   0.0037
[225,]     5.625  0.1778   0.0042
[226,]     5.650  0.1770   0.0018
[227,]     5.675  0.1762   0.0002
[228,]     5.700  0.1754   0.0020
[229,]     5.725  0.1747   0.0123
[230,]     5.750  0.1739   0.0013
[231,]     5.775  0.1732   0.0003
[232,]     5.800  0.1724   0.0057
[233,]     5.825  0.1717   0.0018
[234,]     5.850  0.1709   0.0009
[235,]     5.875  0.1702   0.0031
[236,]     5.900  0.1695   0.0049
[237,]     5.925  0.1688   0.0001
[238,]     5.950  0.1681   0.0013
[239,]     5.975  0.1674   0.0027
[240,]     6.000  0.1667   0.0074

  • Recuerde que el dominio de frecuencia es \((0,0.5)\). El gráfico muestra las frecuencias transformadas que debe multiplicar por \(12\), y por lo tanto, \((0 \times 12, 0.5 \times 12)=(0,6)\).

  • Las frecuencias más importantes:

soi.per$details[c(10,40),] 
     frequency period spectrum
[1,]      0.25      4   0.0537
[2,]      1.00      1   0.9722
  • Recordando la propiedad del periodograma, se puede construir un intervalo de confianza de \(100(1-\alpha)\%\), con \[\frac{2 I(\omega_{j:T})}{\chi^2_2(1-\alpha/2)}<f(\omega)<\frac{2 I(\omega_{j:T})}{\chi^2_2(\alpha/2)}\]
U = qchisq(.025,2)
L = qchisq(.975,2)
# para frecuencia= 1/4
c(2*soi.per$spec[10]/L,2*soi.per$spec[10]/U)
[1] 0.0145653 2.1222066
# para frecuencia= 1
c(2*soi.per$spec[40]/L,2*soi.per$spec[40]/U)
[1]  0.2635573 38.4010800

  • ¡Note que el intervalo es muy amplio y la incertidumbre es muy grande!

  • De hecho, recordemos que:

\[\frac{2 I(\omega_{j:T})}{f(\omega_j)} \rightarrow \chi^2_2.\]

  • En otras palabras, cuando \(T\) es grande, \[\Rightarrow E\left[I(\omega)\right] \approx f(\omega), \text{ y } Var\left[I(\omega)\right] \approx f^2(\omega).\]

  • Es decir, el periodograma no es un estimador consistente de la densidad espectral, i.e.

\[Var\left[I(\omega)\right] \nrightarrow 0 ~~\text{cuando} ~~T \rightarrow \infty.\] - La solución es utilizar un periodograma suavizado

En la próxima clase veremos

  • Estimaciones en el dominio de frecuencia
    • Estimación espectral no paramétrica
    • Estimación espectral paramétrica
  • Aplicaciones del análisis espectral.

Paquetes en R

Para replicar los ejemplos de esta presentación, necesitan estos paquetes:

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