Tema 2: Análisis multivariado de series temporales(4)

Curso: Tópicos Avanzados de Series Temporales

Shu Wei Chou Chen
shuwei.chou@ucr.ac.cr

Escuela de Estadística, Universidad de Costa Rica

Procesos integrados

Contenido

  1. Procesos integrados

  2. Serie estacionaria por tendencia y por diferencia

Procesos integrados

Considere una serie univariada \(X_t\).

Definición 1 (Proceso integrado) Si \(\nabla^d X_t\) es estacionario, decimos que \(X_t\) es integrado de orden \(d\), y es denotado por \(X_t \sim I(d)\).

Ejemplo 1  

  • Si \(\nabla^d X_t \sim ARMA(p,q)\), decimos que \(X_t\) es ARIMA(p,d,q), o bien \(X_t \sim I(d)\).

  • Cualquier serie temporal estacionaria es \(I(0)\).

Recuerde la diferenciación estacional \(\nabla_s^D X_t=(1-B^s)^D X_t\)

Definición 2 (Proceso integrado estacionalmente) Si \(\nabla^d \nabla_s^D X_t\) es estacionario, decimos que \(X_t\) es estacionalmente integrado de orden \(d\) y \(D\), y es denotado por \(X_t \sim I(d,D)\).

Ejemplo 2  

  • Si \(\nabla^d \nabla_s^D X_t \sim ARMA(p,q)\), entonces \(X_t\) es \(SARIMA(p,d,q)(0,D,0)_s\). Decimos que \(X_t \sim I(d,D)\).

Serie estacionaria por tendencia y por diferencia

Contenido

  1. Procesos integrados

  2. Serie estacionaria por tendencia y por diferencia

Serie estacionaria por tendencia y por diferencia

Suponga que una serie temporal \(\left\lbrace X_t \right\rbrace\) es una realización de una tendencia determinística y un componente estocástico: \[X_t=CD_t+ \eta_t,\] donde \(CD_t=\beta_0+\beta_1 t\) y \(\eta_t \sim ARMA(p,q)\) que no necesariamente es estacionario e invertible, i.e., tiene su representación \[\phi(B)\eta_t=\theta(B)\epsilon_t\]

Caso 1: Si todas las raíces de \(\phi(B)\) están fuera del circulo unitario, \(\left\lbrace X_t \right\rbrace\) es estacionaria alrededor de una tendencia determinística. Por lo tanto, se puede eliminar la tendencia de la serie original y ajustar un modelo ARMA a los residuales. Este caso se dice que el modelo es estacionario por tendencia (trend-stationary).

Caso 2: si existe una raíz que está exactamente en el círculo unitario y el resto de las raíces están fuera del círculo unitario, i.e. \(\phi(B)=(1-B)\phi^*(B)\), y \(\phi^*(B)\eta_t\) es estacionario, por ende, \(\left\lbrace X_t \right\rbrace\) es estacionaria por diferencia. Por lo tanto, se puede realizar diferenciación para obtener una serie estacionaria. Caso más común es cuando \(d=1\). Este caso se dice que el modelo es estacionario por diferencia (difference-stationary).

Note que el componente del error es \(I(1)\), i.e. ARIMA(p,1,q): \[\phi^*(B)(1-B)\eta_t=\theta(B)\epsilon_t\] Si aplicamos la diferenciación a \[X_t=\beta_0+\beta_1 t+ \eta_t,\] Tenemos que \(\nabla X_t\) es estacionario, pues

\[X_t-X_{t-1}=\beta_0+\beta_1 t+ \eta_t - [\beta_0+\beta_1 (t-1)+ \eta_{t-1}]\] \[=\beta_1 + [\eta_t-\eta_{t-1}]\]

Ejemplo: Tendencia determinística y estocástica

autoplot(austa) + xlab("Year") +
  ylab("millions of people") +
  ggtitle("Total annual international visitors to Australia")

Ajuste con tendencia determinística

trend <- seq_along(austa)
(fit1 <- auto.arima(austa, d=0, xreg=trend))
Series: austa 
Regression with ARIMA(2,0,0) errors 

Coefficients:
         ar1      ar2  intercept    xreg
      1.1127  -0.3805     0.4156  0.1710
s.e.  0.1600   0.1585     0.1897  0.0088

sigma^2 = 0.02979:  log likelihood = 13.6
AIC=-17.2   AICc=-15.2   BIC=-9.28

\[X_t=0.416+0.171t+\eta_t\] \[\eta_t=1.113\eta_{t-1}-0.380 \eta_{t-2}+\epsilon_t\] \[\epsilon_t \overset{iid}{\sim} N(0,0.03)\]

Ajuste con tendencia estocástica

(fit2 <- auto.arima(austa, d=1))
Series: austa 
ARIMA(0,1,1) with drift 

Coefficients:
         ma1   drift
      0.3006  0.1735
s.e.  0.1647  0.0390

sigma^2 = 0.03376:  log likelihood = 10.62
AIC=-15.24   AICc=-14.46   BIC=-10.57

\[X_t-X_{t-1}=0.173+\eta'_t,\] o de otra forma,

\[X_t=X_0+0.173t+\eta_t\] \[\eta_t=\eta_{t-1}+0.301\epsilon_{t-1}+\epsilon_t\] \[\epsilon_t \overset{iid}{\sim} N(0,0.034)\]

fc1 <- forecast::forecast(fit1,
  xreg = length(austa) + 1:10)
fc2 <- forecast::forecast(fit2, h=10)
autoplot(austa) +
  autolayer(fc2, series="Stochastic trend") +
  autolayer(fc1, series="Deterministic trend") +
  ggtitle("Forecasts from trend models") +
  xlab("Year") + ylab("Visitors to Australia (millions)") +
  guides(colour=guide_legend(title="Forecast"))+
  theme_bw()+ theme(legend.position="top")

Serie estacionaria por tendencia y por diferencia

  • Ejemplo de estos dos tipos de estacionariedad:

Tendencia determinística: \[X_t=X_{t-1}+\mu=X_0+\mu t\] Tendencia estocástica (acumulación de choques aleatorias): \[X_t=X_{t-1}+\epsilon_t=X_0+\sum_{s=1}^t \epsilon_s\] donde \(\mu\) es una constante y \(\epsilon_t\) es ruido blanco.

  • En síntesis, una serie temporal \(\left\lbrace X_t \right\rbrace\) está compuesto por una tendencia determinística y un componente estocástico \(\eta_t\) que es modelado por \(ARIMA(p,d,q)\).
  • Se puede descomponer \(\eta_t\) en dos componentes: tendencia estocástica (choques aleatorios) y el componente aleatorio “estacionario”.
  • Entonces, \(\left\lbrace X_t \right\rbrace\) se puede descomponer en tres componentes:
    1. tendencia determinística,
    2. tendencia estocástica, y
    3. el componente “aleatorio”.
  • Un modelo estacionario por tendencia, no tiene la tendencia estocástica, y el componente aleatorio es \(ARMA(p,q)\).
  • En el caso de un modelo estacionario por diferencia, el polinomio autoregresivo del componente \(\eta_t\) tiene al menos una raíz unitaria.

  • Vimos que si una serie temporal \(\left\lbrace X_t \right\rbrace\) se puede descomponer en tres componentes: (1) tendencia determinística, (2) tendencia estocástica, y (3) el componente “aleatorio”, i.e., \[ X_t=CD_t+ \eta_t, \] donde \(CD_t=\beta_0+\beta_1 t\) y \(\eta_t \sim ARMA(p,q)\) que no necesariamente es estacionario e invertible, i.e., tiene su representación \[\phi(B)\eta_t=\theta(B)\epsilon_t\]
  • Si existe una raíz que está exactamente en el círculo unitario y el resto de las raíces están fuera del círculo unitario, i.e. \(\phi(B)=(1-B)\phi^*(B)\), y \(\phi^*(B)\eta_t\) es estacionario. Por lo tanto, \(\left\lbrace X_t \right\rbrace\) es estacionaria por diferencia. Por lo tanto, se puede realizar diferenciación para obtener una serie estacionaria.
  • El modelo se puede representar como \[X_t=CD_t+ \eta_t,\] \[\phi^*(B)(1-B)\eta_t=\theta(B)\epsilon_t\] # El contraste de raíz unitaria

El contraste de raíz unitaria

Para investigar si el proceso: \[\eta_t=X_t-CD_t,\] contiene raíz unitaria, Dickey Fuller (1979) propuso la prueba de DF de la siguiente forma:

  • Suponiendo que \(\eta_t\) es un AR(1):

\[\eta_t=\phi_1 \eta_{t-1}+a_t\] - Si se toma una diferencia:

\[\nabla \eta_t=\eta_t-\eta_{t-1}=\phi_1 \eta_{t-1}+a_t-\eta_{t-1}=(\phi_1-1) \eta_{t-1}+a_t=\pi \eta_{t-1}+a_t\]

Se puede obtener el estimador del mínimo cuadrado de \(\hat{\pi}^*\) mediante una regresión ordinaria de \(\nabla \eta_t\) sobre \(\eta_{t-1}\). Por lo tanto, el contraste para la estacionariedad se puede formular mediante las siguientes hipótesis: \[H_0: \phi_1=1 ~~\text{v.s.}~~ H_1: \phi_1<1\]

El contraste de raíz unitaria

  • De la diapositiva anterior,

\[\nabla \eta_t=\eta_t-\eta_{t-1}=\phi_1 \eta_{t-1}+a_t-\eta_{t-1}=(\phi_1-1) \eta_{t-1}+a_t=\pi \eta_{t-1}+a_t\]

La idea es obtener el estimador del mínimo cuadrado de \(\hat{\pi}\) mediante una regresión ordinaria de \(\nabla \eta_t\) sobre \(\eta_{t-1}\). Por lo tanto, el contraste para la estacionariedad se puede formular mediante las siguientes hipótesis: \[H_0: \phi_1=1 ~~\text{v.s.}~~ H_1: \phi_1<1\] o equivalentemente a: \[H_0: \pi=0 ~~\text{v.s.}~~ H_1: \pi<0\]

El contraste de raíz unitaria

  • El contraste se puede realizar mediante la estadística \(\hat{\tau}\) de Dickey-Fuller:

\[\hat{\tau}=\frac{\hat{\pi}^*}{e.e.(\hat{\pi}^*)}.\] - La distribución de \(\hat{\tau}\) no es conocida y se obtiene los percentiles y los valores críticos de la distribución de \(\hat{\tau}\) por medio de simulaciones. - Si se rechaza la \(H_0\), la serie es estacionaria. - Si no se rechaza la \(H_0\), la serie es no estacionaria, y se tiene que: \[\eta_t-\eta_{t-1}=a_t,\] la cual es denominada camino aleatorio.

El contraste de raíz unitaria

  • El procedimiento anterior realiza la prueba después de remover el componente de tendencia determinística \(CD_t\), y además, considera un caso simple de AR(1).

  • Se puede generalizar el procedimiento anterior involucrando la tendencia determinística y el componente aleatorio de AR(p) y es llamado como prueba de Dickey-Fuller aumentado. Considere

\[\nabla X_t= \tau' DR_t + \pi X_{t-1} + \sum_{j=1}^{k} \gamma_j \nabla X_{t-j} +a_t,~~\text{con}~~ k=p-1\] para asegurar que la correlación serial en el error es removido.

  • Este procedimiento involucra un valor \(k\) predeterminado.

El contraste de raíz unitaria

  • Considere el caso de una tendencia lineal: \[\nabla X_t= \beta_0 + \beta_1 t + \pi X_{t-1} + \sum_{j=1}^{k} \gamma_j \nabla X_{t-j} +a_t,~~\text{con}~~ k=p-1\] para asegurar que la correlación serial en el error es removido.

Paso 1: Probar \(H_0: \pi=0\) (con el estadístico \(\tau\)) - Si se rechaza \(H_0\), entonces no hay raíz unitaria.

Paso 2: Si \(\pi = 0\), probar \(H_0: \beta_1=\pi=0\) (con el estadístico \(\Phi_3\)). - Si no se rechaza \(H_0\), entonces no hay tendencia y contiene raíz unitaria. - Si se rechaza \(H_0\), hay tendencia y contiene raíz unitaria.

Ejemplo: La serie de consumo

La serie del índice de consumo en Reino Unido del cuarto trimestre, 1966 al segundo trimestre de 1991.

Ejemplo: La serie de consumo

  • En R, aparece una tabla similar a esa:
Statistics | 1pct | 5pct | 10pct | test-statistics |
  –| –| | |
tau3 | -4.04 | -3.45 | -3.15 | -2.2389 |
phi2 | 6.50 | 4.88 | 4.16 | 3.7382 |
phi3 | 8.73 | 6.49 | 5.47 | 2.5972 |
  • Vamos a ver con más detalle las salidas de R en el laboratorio.

Paso 1: Probar \(H_0: \pi=0\) (con el estadístico \(\tau\)) - Usando un 5% de significancia, note que el valor crítico es \(-3.45<-2.2389\) el estadístico \(\tau\). Por lo tanto, no se rechaza \(H_0\).

Ejemplo: La serie de consumo

  • En R, aparece una tabla similar a esa:
Statistics | 1pct | 5pct | 10pct | test-statistics |
  –| –| | |
tau3 | -4.04 | -3.45 | -3.15 | -2.2389 |
phi2 | 6.50 | 4.88 | 4.16 | 3.7382 |
phi3 | 8.73 | 6.49 | 5.47 | 2.5972 |

Paso 2: Dado que \(\pi=0\), probamos \(H_0: \beta_1=\pi=0\) (con el estadístico \(\Phi_3\)). - Note que el estadístico \(F\)= \(2.5972<6.49\) el valor crítico. Por lo tanto, no se rechaza \(H_0\). - Se concluye que el modelo no tiene tendencia, y con raíz unitaria.

Paso 3: Ya que la serie contiene raíz unitaria, se realiza diferenciación para analizarlo.

Ejemplo: La serie de consumo

La serie diferenciada:

Otros contrastes de raíz unitaria

  • Prueba de Phillips-Perron
  • Prueba de Elliott-Rothenberg-Stock
  • Prueba de Schmidt-Phillips
  • Prueba de Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin

En la próxima clase veremos

Procesos cointegrados