Tema 4: Modelos no lineales(2)

Curso: Tópicos Avanzados de Series Temporales

Shu Wei Chou Chen
shuwei.chou@ucr.ac.cr

Escuela de Estadística, Universidad de Costa Rica

Introducción

Contenido

  1. Introducción

  2. Distribuciones simétricas y asimétricas

Introducción

  • En la práctica, se observan fenómenos con variancia condicional que evoluciona con el tiempo y los modelos ARIMA no son adecuados para estos fenómenos.
  • La aplicación más utilizada y conocida es en las series financieras.
  • Existe una variedad de modelos no lineales en la literatura.
  • Vamos a enfocarnos en la clase de modelos GARCH:
    • ARCH (AutoRegressive Conditional Heteroscedastic): Modelos autoregresivos con heteroscedasticidad condicional.
    • GARCH (Generalized AutoRegressive Conditional Heteroscedastic): Modelos autoregresivos con heteroscedasticidad condicional generalizada.
    • Extensiones del modelo GARCH: EGARCH y TGARCH.
    • Son modelos heteroscedásticos condicionales que tratan a la asimetría de la serie.

Ejemplo: promedio diario industrial Dow Jone

getSymbols("^DJI",from = "2016/12/31",
           to = "2018/12/31",
           periodicity = "daily")
y <- DJI$DJI.Close
r<-diff(log(y))[-1]
ts.plot(r)
abline(h=0,col=2)

hist(r,breaks=25,freq=FALSE)
curve(dnorm(x,mean(r,na.rm = T),sd(r,na.rm = TRUE)),add=T,col=2)

Exponential GAGRCH (EGARCH).

  • Esta clase de modelo, propuesto por Nelson (1991), permite el efecto de asimetría entre los retornos positivos y negativos.

\[X_t=\sqrt{h_t} \epsilon_t\] \[\ln (h_t)= \alpha_0 + \alpha_1 g(\epsilon_{t-1}) + \beta_1 \ln (h_{t-1})\] donde \(\epsilon_t\) son i.i.d. con media zero y \(g(\cdot)\) es llamada la curva de impacto de información dada por: \[g(\epsilon_t)=\theta \epsilon_t + \gamma \left[ |\epsilon_t|-E(|\epsilon_t|) \right]\] y \(\theta\) y \(\gamma\) son parámetros reales.

  • Note que \(|\epsilon_t|-E(|\epsilon_t|)\) es una secuencia de variables i.i.d. con media cero.
  • Y por lo tanto, \(E[g(\epsilon_t)]=0\)
  • Si se abre la expresión, se tiene que:

\[g(\epsilon_t)=\left\lbrace \begin{aligned} (\theta + \gamma) \epsilon_t - \gamma E(|\epsilon_t|) & & \text{si}~ \epsilon_t \geq 0 \\ (\theta - \gamma) \epsilon_t - \gamma E(|\epsilon_t|) & & \text{si}~ \epsilon_t < 0 \end{aligned} \right.\]

  • De esta forma, esperamos que los retornos negativos tengan más impacto en la volatilidad, cuando \(\gamma<0\).

  • Esta asimetría permite que la volatilidad responde más rápidamente a retornos negativos que los positivos.

  • De forma general, un EGARCH(m,n) es:

\[X_t=\sqrt{h_t} \epsilon_t\] \[\ln (h_t)= \alpha_0 + \frac{1+\beta_1 B + ...+ \beta_{n-1} B^{n-1}}{1-\alpha_1 B - ...- \alpha_m B^m} g(\epsilon_{t-1})\] donde los operadores en \(B\) tienen raíces fuera del círculo unitario.

  • Como ilustración, considere un EGARCH(1,1), i.e.

\[\ln (h_t)= \alpha_0 + \frac{1}{1-\alpha_1 B} g(\epsilon_{t-1})\] \[(1-\alpha_1 B) \ln (h_t)= (1-\alpha_1) \alpha_0 + g(\epsilon_{t-1})\]

\[g(\epsilon_t)=\left\lbrace \begin{aligned} (\theta + \gamma) \epsilon_t - \gamma E(|\epsilon_t|) & & \text{si}~ \epsilon_t \geq 0 \\ (\theta - \gamma) \epsilon_t - \gamma E(|\epsilon_t|) & & \text{si}~ \epsilon_t < 0 \end{aligned} \right.\]

Threshold GAGRCH (TGARCH).

  • Esta clase de modelo también permite agregar un efecto de asimetría entre los retornos positivos y negativos.

  • Un modelo TGARCH(m,n) asume la siguiente forma:

\[X_t=\sqrt{h_t} \epsilon_t\] \[h_t= \alpha_0 + \sum_{i=1}^n (\alpha_i + \gamma_i I_{\left\lbrace X_{t-i}<0\right\rbrace }) X^2_{t-i} + \sum_{j=1}^m \beta_j h_{t-j}\] donde \(I_{\left\lbrace X_s<0\right\rbrace}\) es una función indicadora, i.e.

\[I_{\left\lbrace X_s<0\right\rbrace}= \left\lbrace \begin{aligned} 1 & & \text{si}~ X_s<0 \\ 0 & & \text{si}~ X_s>0 \\ \end{aligned} \right.\]

  • Un modelo TGARCH(1,1) asume la siguiente forma:

\[X_t=\sqrt{h_t} \epsilon_t\] \[h_t= \alpha_0 + (\alpha_1 + \gamma_1 I_{\left\lbrace \epsilon_{t-1}<0\right\rbrace }) \epsilon^2_{t-1} + \beta_1 h_{t-1}\] donde \(I_{\epsilon_s>0}\) es una función indicadora, i.e.

\[I_{\left\lbrace\epsilon_s>0\right\rbrace}= \left\lbrace \begin{aligned} 1 & & \text{si}~ \epsilon_s<0~~~ \text{(mala noticia)} \\ 0 & & \text{si}~ \epsilon_s>0~~~ \text{(buena noticia)} \\ \end{aligned} \right.\] - Si \(\gamma \neq 0\), hay un impacto de información asimétrica. - Si \(\gamma > 0\), mala noticia tiene un impacto mayor.

Distribuciones simétricas y asimétricas

Contenido

  1. Introducción

  2. Distribuciones simétricas y asimétricas

Distribuciones simétricas y asimétricas

  • La mayoría de los modelos suponen distribución simétrica de las innovaciones (normal, t-student, etc.).

  • Si una distribución \(X\) es simétrica alrededor de cero, entonces su función de densidad satisface \[f(x)=f(-x)\]

  • En la práctica es común enfrentar situaciones en donde los datos presentan asimetría. Por ejemplo, más impacto en los retornos negativos que los positivos, etc.

  • La idea es incorporar asimetría a una distribución simétrica que ya es conocida.

Incorporación de la asimetría en una distribución simétrica

  • Sea \(f(x)\) la función de densidad simétrica de una variable aleatoria y \(\gamma \in (0,\infty)\).

  • La clase de distribuciones asimétricas generadas a partir de \(f(x)\) se define como: \[p(x|\gamma) =\frac{2}{\gamma+\frac{1}{\gamma}} \left[ f\left(\frac{x}{\gamma}\right) I_{[0,\infty)}(x) + f(\gamma x) I_{(-\infty,0]}(x) \right]\]

  • La idea es introducir factores de escala inversa tanto en el lado positivo como el negativo del dominio.

  • La moda sigue siendo cero y \(p(x|\gamma)\) es asimétrica cuando \(\gamma \neq 1\).

  • Entre las más conocidas son:

    • normal asimétrica
    • t-student asimétrica
    • error generalizada asimétrica

Distribución normal asimétrica

  • La función de densidad de una normal estandarizada:

\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\frac{-1}{2}x^2},~~x \in \mathbb{R}\]

x <- seq(-3,3,0.01)
norm <- dnorm(x, mean = 0, sd = 1, log = FALSE)
snorm.p <- dsnorm(x, mean = 0, sd = 1, xi = 1.5, log = FALSE)
snorm.n <- dsnorm(x, mean = 0, sd = 1, xi = 0.5, log = FALSE)
plot(x,norm,type="l",col=1,ylim=c(0,0.8))
points(x,snorm.p,type="l",col=2)
points(x,snorm.n,type="l",col=3)
legenda=c("norm",TeX(r'(snorm  $\gamma = 1.5$)'),TeX(r'(snorm  $\gamma = 0.5$)'))
legend("topright",legenda ,col=c(1,2,3),lty=c(1))

Distribución t-student asimétrica

  • La función de densidad de una t-student estandarizada:

\[f(t)=\frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\Gamma(\sqrt{\nu \pi}\frac{\nu}{2})}\left( 1+\frac{t^2}{\nu}\right)^{-(\nu+1)/2},\]

y \(t \in \mathbb{R}\)

x <- seq(-3,3,0.01)
norm <- dnorm(x, mean = 0, sd = 1, log = FALSE)
std <- dsstd(x, mean = 0, sd = 1, nu = 4, xi = 1, log = FALSE)
sstd.p <- dsstd(x, mean = 0, sd = 1, nu = 4, xi = 1.5, log = FALSE)
sstd.n <- dsstd(x, mean = 0, sd = 1, nu = 4, xi = 0.5, log = FALSE)
plot(x,norm,type="l",col=1,ylim=c(0,1))
points(x,std,type="l",col=2)
points(x,sstd.p,type="l",col=3)
points(x,sstd.n,type="l",col=4)
legenda=c("norm",TeX(r'(st  $\gamma = 1$)'),TeX(r'(st  $\gamma = 1.5$)'),TeX(r'(st  $\gamma = 0.5$)'))
legend("topright",legenda ,col=c(1,2,3,4),lty=c(1))

Distribución de error generalizad

  • La función de densidad de una distribución de error generalizada:

\[f(x)=\frac{\beta}{2 \alpha \Gamma\left(\frac{1}{\beta}\right)}e^{\left( \frac{|x-\mu|}{\alpha}\right)^\beta}, x \in \mathbb{R}\] con parámetro de locación \(\mu \in \mathbb{R}\), escala \(\alpha >0\) y forma \(\beta >0\).

Distribución de error generalizad

  • Considere una distribución de error generalizada con \(\mu=0, \alpha=1, \beta=3\) y su versión asimétrica con \(\gamma\).
x <- seq(-3,3,0.01)
norm <- dnorm(x, mean = 0, sd = 1, log = FALSE)
sged <- dsged(x, mean = 0, sd = 1, nu = 3, xi = 1, log = FALSE)
sged.p <- dsged(x, mean = 0, sd = 1, nu = 3, xi = 1.5, log = FALSE)
sged.n <- dsged(x, mean = 0, sd = 1, nu = 3, xi = 0.5, log = FALSE)
plot(x,norm,type="l",col=1,ylim=c(0,0.6))
points(x,sged,type="l",col=2)
points(x,sged.p,type="l",col=3)
points(x,sged.n,type="l",col=4)
legenda=c("norm",TeX(r'(sged  $\gamma = 1$)'),TeX(r'(sged  $\gamma = 1.5$)'),TeX(r'(sged  $\gamma = 0.5$)'))
legend("topright",legenda ,col=c(1,2,3,4),lty=c(1))