Tema 3: Técnicas de suavizamiento exponencial

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# Tema 3: Técnicas de suavizamiento exponencial
]
.subtitle[
## Curso: Análisis de series temporales
]
.author[
### Prof. Shu Wei Chou Chen
]
.institute[
### Escuela de Estadística, UCR
]

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# Contenido

1. Introducción
2. Suavizamiento exponencial simple
3. Método lineal de Holt
4. Métodos multiplicativo y aditivo de Holt-Winters
5. Representación como modelos Espacio de Estados

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# Introducción

- Desarrollados en los años 1950s.
- Son aplicados ampliamente debido a su sencillez y bajo costo.
- Pueden ser utilizados para pocas observaciones.

1. Suavizamiento exponencial simple (SES)
2. Método lineal de Holt (con tendencia)
3. Métodos multiplicativo y aditivo de Holt-Winters (con estacionalidad)

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# Suavizamiento exponencial simple (SES)

- Es apropiada para serie que no tienen patrones estacionales ni de tendencia, y cuya media o nivel cambia lentamente.

- Notación:
  - `$Z_t$`: la observación de la serie en el tiempo `$t$`.
  - `$P_t$`: el pronóstico del tiempo `$t$`.
  - `$Z_t-P_t$`: el error de pronóstico.

- El método de SES consiste en:
`$$P_{t+1}=P_t+\alpha (Z_t-P_t)$$`
donde `$0<\alpha<1$` es el parámetro de suavizamiento. 
i.e., el pronóstico en el tiempo `$t+1$` es una combinación del pronóstico en el tiempo `$t$` y una proporción `$\alpha$` el error de pronóstico del tiempo `$t$`.

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# Suavizamiento exponencial simple (SES)

- Note que la ecuación anterior es equivalente a:
`$$P_{t+1}=\alpha Z_t + (1-\alpha)~ P_t$$`
i.e., el pronóstico en el tiempo `$t+1$` es un promedio ponderado de la observación más reciente y el pronóstico en el tiempo `$t$`.

- Recursivamente se obtienen:

`$$P_{t+1}=\alpha Z_t + (1-\alpha) \left[ \alpha Z_{t-1} + (1-\alpha) P_{t-1} \right]$$`
`$$=\alpha Z_t + \alpha (1-\alpha) Z_{t-1} + (1-\alpha)^2 P_{t-1}$$`
`$$=\alpha Z_t + \alpha (1-\alpha) Z_{t-1}+\alpha (1-\alpha)^2 Z_{t-2}+... + \alpha (1-\alpha)^{t-1} Z_1 + (1-\alpha)^t P_{1}$$`
- Los coeficientes `$\alpha, \alpha (1-\alpha)^2,..., \alpha (1-\alpha)^t$` decrecen exponencialmente.
- El pronóstico `$P_{t+1}$` es un promedio ponderado de las observaciones pasadas `$Z_t,...,Z_1$` ya que  `$(1-\alpha)^t P_{1}$` es casi nulo.

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# Suavizamiento exponencial simple (SES)

- La idea es realizar SES con diferentes valores de `$\alpha$` y seleccionar el valor de `$\alpha$` que minimiza la suma de los cuadrados de los errores de pronóstico, o el MSE.
$$MSE=\frac{\sum\limits_{t=1}^T \left( Z_t-P_t \right)^2}{T} $$
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# Suavizamiento exponencial simple (SES)

- Ejemplo 3.1 de Hernández (2011): Serie mensual de defunciones de Costa Rica de los años 2001 y 2002.

- Vamos al excel y el laboratorio.

- Consideraciones importantes.
  - Selección de los valores iniciales.

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# El método lineal de Holt

- El método de Holt sirve para series con tendencia.
- El suavizamiento exponencial de Holt utiliza 3 ecuaciones y dos parámetros ( `$\alpha$` y `$\beta$` ):

Ecuación del nivel: `$~~~~~~~~~~~~~l_{t}=\alpha Z_{t} + (1-\alpha)~ (l_{t-1}+b_{t-1})$`

Ecuación de la pendiente: `$~~~~b_{t}=\beta (l_t-l_{t-1}) + (1-\beta)~ b_{t-1}$`

Ecuación del pronóstico: `$~~~~~P_{t+m}=l_t+b_t m$`
- `$l_t$` es una estimación del nivel promedio de `$Z_t$`
  - es un promedio ponderado del valor de `$Z_t$` y una estimación del nivel de la serie en `$t$`.
- `$b_t$` es una estimación de la pendiente de `$Z_t$`.
  - es un promedio ponderado del aumento del nivel de la serie entre `$t$` y `$t-1$`, y una estimación de la pendiente en el tiempo `$t-1$`.
- La última ecuación pronostica el valor de `$Z_{t+m}$`, i.e., pronóstico a `$m$` paso para adelante.

- Es conocido como **suavizamiento exponencial doble**.

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# El método lineal de Holt

- Al igual que SES, los valores de `$\alpha$` y `$\beta$` se obtienen minimizando la suma de los cuadrados de los errores de pronóstico, o el MSE.
$$MSE=\frac{\sum\limits_{i=1}^T \left( Z_t-P_t \right)^2}{T} $$

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# El método lineal de Holt

- Ejemplo 3.2 de Hernández (2011): Serie de graduados del ITCR de 1975-2002.

- Vamos al excel y el laboratorio.

- Consideraciones importantes.
  - Selección de los valores iniciales.
  
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# El método lineal de Holt amortiguado

**Crítica:** 
- el método lineal de Holt supone una tendencia constante a futuro.
- Pronósticos a largo plazo no son prácticos. 
- [Gardner & McKenzie (1985)](https://doi.org/10.1287/mnsc.31.10.1237) introdujo un parámetro adicional para amortiguar esa tendencia constante.

Ecuación del nivel: `$~~~~~~~~~~~~~l_{t}=\alpha Z_{t} + (1-\alpha)~ (l_{t-1}+\phi b_{t-1})$`

Ecuación de la pendiente: `$~~~~b_{t}=\beta (l_t-l_{t-1}) + (1-\beta)~ \phi b_{t-1}$`

Ecuación del pronóstico: `$~~~~~P_{t+m}=l_t+ (\phi+\phi^2+...+\phi^m)~b_t$`

- Si `$\phi=1$`, se tiene el método lineal de Holt.
- Para `$0<\phi<1$`, el pronóstico converge a `$l_t+ \frac{\phi}{1-\phi}~b_t$`, cuando `$m \rightarrow \infty$`.
- Es decir, el pronóstico a corto plazo es con tendencia pero a largo plazo es constante.

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# El método lineal de Holt amortiguado

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# El método mult. y adit. de Holt-Winters

- [Winters (1960)](https://pubsonline.informs.org/doi/abs/10.1287/mnsc.6.3.324) extendió el método lineal de Holt para tomar en cuenta la estacionalidad, el cual es conocido como Holt-Winters.

1. Método multiplicativo
  - Variación estacional cambia proporcionalmente con el nivel de la serie.

2. Método aditivo
  - Variación constante a lo largo de tiempo.

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# El método mult. de Holt-Winters

`$$l_t= \alpha \frac{Z_t}{S_{t-s}}+(1-\alpha) (l_{t-1}+b_{t-1})$$`
`$$b_t= \beta (l_t-l_{t-1})+(1-\beta) b_{t-1}$$`
`$$S_t= \gamma \frac{Z_t}{l_{t-1}+b_{t-1}}+(1-\gamma) S_{t-s}$$`
`$$P_{t+m}= (l_{t}+b_t~m) S_{t+m-s}$$`
donde 
`$s$` es la longitud de la estacionalidad, `$l_t$` es el nivel de la serie `$Z_t$`, `$b_t$` es la tendencia, `$S_t$` es el componente estacional, `$P_{t+m}$` es el pronóstico `$m$` pasos adelante y `$0<\alpha<1$`, `$0<\beta<1$`, `$0<\gamma<1$`.

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# El método mult. de Holt-Winters

**Valores iniciales:** para `$s$` periodos, 
- El nivel `$l_t$` se inicia con:
`$$l_s=\frac{Z_1+...+Z_s}{s}$$`
como un promedio de los datos de los primeros `$s$` datos.

- La pendiente `$b_t$` se inicia con:
`$$b_s=\frac{1}{s}\left[ \frac{Z_{s+1}-Z_1}{s}+\frac{Z_{s+2}-Z_2}{s}+...+\frac{Z_{s+s}-Z_s}{s}   \right]$$`
`$$=\frac{1}{s}\left[ \frac{Z_{s+1}+...+Z_{s+s}}{s}-\frac{Z_{1}+...+Z_{s}}{s} \right]$$`
como un promedio de pendientes de cada periodo en los primeros `$2s$` periodos.

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# El método mult. de Holt-Winters

- Los índices estacionales se inicializan como cociente de los primeros `$s$` valores al promedio de los primeros `$s$` datos.
`$$S_i=\frac{Z_i}{l_s}, \text{ para } i=1,...,s$$`

- Ejemplo 3.3 de Hernández (2011): Serie mensual de turistas de 1991-2000.

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# El método mult. de Holt-Winters

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# El método aditivo de Holt-Winters

`$$l_t= \alpha (Z_t-S_{t-s})+(1-\alpha) (l_{t-1}+b_{t-1})$$`
`$$b_t= \beta (l_t-l_{t-1})+(1-\beta) b_{t-1}$$`
`$$S_t= \gamma \left( Z_t-l_{t-1}-b_{t-1} \right)+(1-\gamma) S_{t-s}$$`
`$$P_{t+m}= l_{t}+b_t~m + S_{t+m-s}$$`
donde 
`$s$` es la longitud de la estacionalidad, `$l_t$` es el nivel de la serie `$Z_t$`, `$b_t$` es la tendencia, `$S_t$` es el componente estacional, `$P_{t+m}$` es el pronóstico `$m$` pasos adelante y `$0<\alpha<1$`, `$0<\beta<1$`, `$0<\gamma<1$`.

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# El método aditivo de Holt-Winters

- Los índices estacionales se inicializan como cociente de los primeros `$s$` valores al promedio de los primeros `$s$` datos.
`$$S_i=Z_i-a_s, \text{ para } i=1,...,s$$`

- Existen otras inicializaciones como el procedimiento basado en regresión (Bowerman, O’Connell and Koehler, 2005).
  - asumir tendencia lineal de las primeras observaciones (típicamente 3 o 4 años), y usa el intercepto como `$l_0$` y pendiente como `$b_0$`.
- Hasta los últimos años siguen proponiendo nuevos métodos.

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# El método aditivo y mult. de H-W

RMSE del método multiplicativo: 3239.92.  
RMSE del método aditivo: 4297.824.

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# El método mult. de H-W amortiguado

`$$l_t= \alpha \frac{Z_t}{S_{t-s}}+(1-\alpha) (l_{t-1}+\phi~b_{t-1})$$`
`$$b_t= \beta (l_t-l_{t-1})+(1-\beta)~\phi~ b_{t-1}$$`
`$$S_t= \gamma \frac{Z_t}{l_{t-1}+\phi~b_{t-1}}+(1-\gamma) S_{t-s}$$`
`$$P_{t+m}= (l_{t}+(\phi+\phi^2+...+\phi^m)~ b_t) S_{t+m-s}$$`

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# El método mult. de H-W amortiguado

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# Taxonomía de métodos SE

|  Tendencia                         |           |  Componente   estacional   |                      |
|------------------------------------|:---------:|:--------------------------:|:--------------------:|
|                                    | `$N$` (No)  | `$A$` (Aditivo)              | `$M$` (Multiplicativo) |
| `$N (\text{No)}$`                    | `$(N,N)$`   | `$(N,A)$`                    | `$(N,M)$`              |
| `$A (\text{Aditivo})$`               | `$(A,N)$`   | `$(A,A)$`                    | `$(A,M)$`              |
| `$A_d$` `$(\text{Aditivo}_{damped})$`  | `$(A_d,N)$` | `$(A_d,A)$`                  | `$(A_d,M)$`            |

Note que algunos de estos ya lo acabamos de ver:

- `$(N,N)$`:	SES
- `$(A,N)$`:	Método lineal de Holt
- `$(A_d,N)$`:	Holt amortiguado
- `$(A,A)$`:	HW aditivo
- `$(A,M)$`:	H-W Multiplicativo
- `$(A_d,M)$`:	H-W multiplicativo amortiguado

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- En `R`, especifica el tipo de error como "aditivo" o "multiplicativo", y se usa la notación del modelo ETS como `(ZZZ)`, donde las 3 `Z`s representan:

- El error ("A", "M", "Z"), 
  - La tendencia ("N","A","M" or "Z"), y 
  - El componente estacional ("N","A","M" or "Z").
  - `$N:$` no, `$A:$` aditivo, `$M:$` multiplicativo y `$Z:$` automático.

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- Por ejemplo, si necesito estimar

```r
turistas<-read.csv("turistas.csv",sep=";")
y<-ts(turistas$turistas,start=c(1991,1),frequency=12)
hw_ad<-ets(y,model="AAA",damped = FALSE)
hw_ad_a<-ets(y,model="AAA",damped = TRUE)
hw_mul<-ets(y,model="MAM",damped = FALSE)
hw_mul_a<-ets(y,model="MAM",damped = TRUE)
hw_auto<-ets(y,model="ZZZ") #selecciona el mejor modelo usando AIC.
```

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```r
plot(hw_auto)
```

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# Representación de SE 
## como modelos Espacio de Estados

Note que la ecuación del SES:
`$$P_{t+1}=\alpha Z_t + (1-\alpha)~ P_t$$`
se puede reescribir como:  
- La ecuación del pronóstico:  `$~~~~~~P_{t+1}=l_t$`  
- La ecuación del suavizamiento: `$~~l_t=\alpha Z_t + (1-\alpha)~ P_t$`  
`$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~= \alpha Z_t + (1-\alpha)~ l_{t-1}$`

Arreglando la ecuación del suavizamiento:  
`$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~l_t = l_{t-1} + \alpha (Z_t-l_{t-1})$`   
`$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~= l_{t-1}+ \alpha e_t$`  
donde  
`$e_t = Z_t - l_{t-1} = Z_t - P_{t}$` es el error.

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Finalmente, la representación del modelo Espacio de Estados se escribe de la siguiente forma:

**Ecuación de observaciones:** `$~~~~~~~~~Z_t = l_{t-1}+e_t$`

**Ecuación de estados:** `$~~~~~~~~~~~~~~~l_t = l_{t-1} + \alpha e_t$`

Asumiendo alguna distribución de `$e_t$`, se puede realizar inferencias a los parámetros y los pronósticos con intervalo de confianza.

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Ejemplo con Holt-Winter Multiplicativo.

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