Tema 8b: Modelos lineales multivariados de series temporales

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# Tema 8b: Modelos lineales multivariados de series temporales
]
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## Curso: Análisis de series temporales
]
.author[
### Prof. Shu Wei Chou Chen
]
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### Escuela de Estadística, UCR.
]

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# Contenido

1. Introducción
2. Medidas de dependencia y estacionariedad conjunta (caso bivariada)
3. Estimación
4. Medidas de dependencia y estacionariedad conjunta (caso K-variada)
5. Modelos autorregresivos multivariados, VAR(p)
6. ARMAX multivariado

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# Introducción

- En la práctica, es común enfrentar situaciones en donde se presentan varias series temporales.

- Vamos a centrar el caso del análisis multivariada de series temporales estacionarias, con la posibilidad de presentar algún tipo de tendencia determinística.

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# Introducción

**Ejemplo 1: El Niño y la población de peces**

- Se tiene la serie ambiental de índice de oscilación del sur (SOI, Southern Oscillation Index), y la serie de número de peces nuevos (Reclutamiento) de 453 meses de 1950 a 1987.
- SOI mide cambios en presión relacionada a la temperatura del superficie del mar en el oceano pacífico central, el cual se calienta cada 3-7 años por el efecto El Niño.

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# Introducción

**Ejemplo 2: Imagen por resonancia magnética**

- Un estímulo fue aplicado a cinco personas en la mano por 32 segundos y luego paró el estímulo por otros 32 segundos, sucesivamente.
- Durante 256 segundos, cada 2 segundos se registró la intensidad del dependiente del nivel en la sangre (BOLD, blood oxygenation-level dependent signal intensity), la cual mide áreas de activación en el celebro `$(T=128)$`.

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# Medidas de dependencia (caso bivariada)

- Recuerde que **la función de autocorrelación** es definida por

`$$\rho_X(t,s)=\frac{\gamma(t,s)}{\sqrt{\gamma(t,t)\gamma(s,s)}}$$`

- Se puede generalizar estas medidas a dos series `$X_t$` y `$Y_t$`. Defina:

- **la función de autocovariancia cruzada**:

`$$\gamma_{XY}(t,s)= Cov(X_t,Y_s) =E\left[ (X_t-\mu_{Xt})(Y_s-\mu_{Ys}) \right]$$`

- **la función de autocorrelación cruzada**:

`$$\rho_{XY}(t,s)= \frac{\gamma_{XY}(t,s)}{\sqrt{\gamma_{X}(t,t)\gamma_{Y}(s,s)}}$$`

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# Estacionariedad conjunta(caso bivariada)

**Definición:**
Dos series temporales, `$X_t$` y `$Y_t$` se dicen que son **conjuntamente estacionarias** si cada serie es estacionaria, y la función de covariancia cruzada

`$$\gamma_{XY}(h)= Cov(X_{t+h},Y_t) =E\left[ (X_{t+h}-\mu_{X})(Y_t-\mu_{Y}) \right]$$`
es una función que solamente depende de `$h$`.

De esta forma, podemos definir la función de correlación cruzada de dos series temporales conjuntamente estacionarias por `$$\rho_{XY}(h)=\frac{\gamma_{XY}(h)}{\sqrt{\gamma_X(0)\gamma_Y(0)}}$$`

**Propiedades:**
- `$-1 \leq \rho_{XY}(h) \leq 1$`
- `$\rho_{XY}(h) \neq \rho_{XY}(-h)$` pues `$Cov(X_2,Y_1)$` y `$Cov(X_1,Y_2)$` no siempre son iguales.
- `$\rho_{XY}(h) = \rho_{YX}(-h)$`

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# Estimación

- **la función de autocovariancia cruzada muestral** es definida por
`$$\hat{\gamma}_{XY}(h)=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T-h} (X_{t+h}-\bar{X})(Y_{t}-\bar{Y}),$$`

Note que `$\hat{\gamma}_{XY}(-h)=\hat{\gamma}_{YX}(h)$` para `$h=0,1,...,T-1$`.

- **La función de autocorrelación cruzada muestral** es definida por
`$$\hat{\rho}_{XY}(h)=\frac{\hat{\gamma}_{XY}(h)}{\sqrt{\hat{\gamma}_X(0)\hat{\gamma}_Y(0)}}$$`
**Propiedad:** La distribución de `$\hat{\rho}_{XY}(h)$` para `$T$` grande es aproximadamente normal con media cero y 
`$$\sigma_{\hat{\rho}_{XY}}=\frac{1}{\sqrt{T}}.$$`