Ilustración del Teorema de Límite Central

Teorema de Límite Central (simulación)

Este documento ilustra de manera intuitiva el Teorema de Límite Central por medio de simulaciones.

Población con distribución exponencial

Suponga que \(X_1,...,X_n \sim Exp(2)\). Una muestra aleatoria simulada con \(n=100\) se observa como sigue:

set.seed(100000)
n <- 100
x <- rexp(n,2)
hist(x)

mean(x)

## [1] 0.480446

var(x)

## [1] 0.2243271

Observe que teóricamente \(E(X)=0.5\) y \(Var(X)=0.5^2\).

Ahora, tomo \(K=1000\) muestras aleatorias y las guardo en una lista X.

K <- 1000
n <- 100
X <- list()
for(i in 1:K){
  X[[i]] <- rexp(n,2) #X es una lista de las K muestras de tamaño 100.
}

Calculo la media muestral para \(k=1,...,K\) y obtengo la media y variancia (empírica) de las \(K=1000\) medias muestrales.

media_X <- sapply(X,mean)
hist(media_X)

mean(media_X)

## [1] 0.5015006

var(media_X)

## [1] 0.002583587

Observe que teóricamente \(E(\bar{X})=0.5\) y \(Var(\bar{X})=0.5^2/n=0.5^2/100=0.0025\). Además, el histograma muestra que con la distribución muestral de \(\bar{X}\) es aproximadamente simétrica y quizás normal.

Repito el mismo procedimiento para \(n=10\)

K <- 1000
n <- 10
X <- list()
for(i in 1:K){
  X[[i]] <- rexp(n,2) #X es una lista de las K muestras de tamaño 100.
}

media_X <- sapply(X,mean)
hist(media_X)

mean(media_X)

## [1] 0.5024647

var(media_X)

## [1] 0.02452413

Observe que teóricamente \(E(\bar{X})=0.5\) y \(Var(\bar{X})=0.5^2/n=0.5^2/10=0.025\). Además, el histograma muestra que con la distribución muestral de \(\bar{X}\) es asimétrica. Es decir, que no se parece a una distribución normal.

Repito el mismo procedimiento para \(n=1000\)

K <- 1000
n <- 1000
X <- list()
for(i in 1:K){
  X[[i]] <- rexp(n,2) #X es una lista de las K muestras de tamaño 100.
}

media_X <- sapply(X,mean)
hist(media_X)

mean(media_X)

## [1] 0.4988182

var(media_X)

## [1] 0.0002505538

Observe que teóricamente \(E(\bar{X})=0.5\) y \(Var(\bar{X})=0.5^2/n=0.5^2/1000=0.00025\). Además, el histograma muestra que la distribución muestral de \(\bar{X}\) se parece más a los dos casos anteriores. Es decir, que se aproxima más a una distribución normal.

El TLC nos garantiza que \[ Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \overset{d}{\rightarrow} N(0,1) \] Es decir, \(Z\) se aproxima cada vez a la normal estándar cuando \(n\rightarrow \infty\). Por ejemplo, con solo \(n=1000\), tenemos

Z=(media_X-0.5)/(sqrt(0.5^2/n))
hist(Z,prob=TRUE)
Z2 <- seq(min(Z), max(Z), length = 40)
lines(Z2, dnorm(Z2, mean = 0, sd = 1), col = 2, lwd = 2)
abline()

mean(Z)

## [1] -0.07474353

var(Z)

## [1] 1.002215

Ejercicios: copiar estos códigos y hagan ustedes el ejercicio aumentando el valor de \(n\) gradualmente. Pruebe con distintas distribuciones.