class: center, middle, inverse, title-slide .title[ # XS3310 Teoría Estadística ] .subtitle[ ## I Semestre 2023 ] .author[ ### Escuela de Estadística ] .date[ ### 28-03-2023 ] --- # Vídeos Temas anteriores a esta clase (para repaso): * [Insesgamiento asintótico](https://youtu.be/zuuNAjb-fx8) * [Sesgo y error cuadrático medio](https://youtu.be/ya03V8ySoBI) * [Eficiencia](https://youtu.be/GD4lUmIo9_g) * [Información de Fisher](https://youtu.be/7O-an8MOL7g) * [Cota inferior de Cramér-Rao](https://youtu.be/e8BhHJKB5Ks) * [Comentarios sobre la cota inferior de Cramér-Rao](https://youtu.be/q0NI2tftYWg) * [Primer ejemplo sobre la cota inferior de Cramér-Rao](https://youtu.be/YW1ZG1Hgg_k) * [Segundo ejemplo sobre la cota inferior de Cramér-Rao](https://youtu.be/faFsaP1YE4U) Temas para esta clase: * [Consistencia](https://youtu.be/cgKK92xrfqo) * [Relación general entre consistencia e insesgamiento](https://youtu.be/wAQ7zs-TmmY) * [Suficiencia](https://youtu.be/vzG_dIdV5MA) * [Ejemplos sobre suficiencia](https://youtu.be/1R4QauxorMQ) * [Teorema de factorización](https://www.youtube.com/watch?v=Vgn4gdbqd0M) * [Ejemplos de aplicaci&oacute;n del teorema de factorizaci&oacute;n](https://www.youtube.com/watch?v=xI9H4F35eVw) --- # Consistencia **Ejemplo.** Sea `\(X_{1}, X_{2}, ... , X_{n}\)` una muestra aleatoria tal que `\(X_{j} \sim Unif(0,\theta)\)` y sean `\(\overline{X}\)` y `\(X_{(n)}\)` estimadores de `\(\theta\)`. Podemos encontrar que `\(E(\overline{X}) = \frac{\theta}{2}\)` y `\(E(X_{(n)}) = \frac{n\theta}{n+1}\)`, por lo que `\(\overline{X}\)` y `\(X_{(n)}\)` son estimadores sesgados. No obstante podemos construir estimadores insesgados a partir de ellos que queden de la forma `\(\hat{\theta}_{1} = 2\overline{X}\)` y `\(\hat{\theta}_{2} = \frac{n+1}{n}X_{(n)}\)`, respectivamente. También podemos encontrar que la variancias de estos dos estimadores son las siguientes: `\(Var(\hat{\theta}_{1}) = \frac{\theta^2}{3n} \qquad Var(\hat{\theta}_{2}) = \frac{\theta^2}{n(n+2)}\)` El interés ahora yace en ver si estos estimadores se aproximan cada vez más al valor verdadero de `\(\theta\)` conforme aumentamos el tamaño de muestra y obtenemos más información. Y si ambos cumplen esto también nos podría interesar cuál lo hace de manera más rápida. --- # Consistencia Haciendo una simulación, con `\(\theta\)` = 5, podemos observar que ambos estimadores convergen a `\(\theta\)` conforme el tamaño de muestra va aumentando. Podemos decir que `\(\hat{\theta}_{1}\)` y `\(\hat{\theta}_{2}\)` son estimadores consistentes para estimar `\(\theta\)`. <div class="figure"> <img src="figs/consistencia.jpg" alt="Figura 1. Consistencia para dos estimadores insesgados de `\(\theta\)` " width="80%" /> <p class="caption">Figura 1. Consistencia para dos estimadores insesgados de `\(\theta\)` </p> </div> --- # Consistencia > **Definición 3.1. Consistencia.** Se dice que un estimador `\(\hat{\theta}\)` es consistente para estimar `\(\theta\)` ( `\(\hat{\theta}\)` converge en probabilidad a `\(\theta\)` ) si `\(\forall \varepsilon>0\)` se cumple que: `\(\lim_{n \to +\infty}P\left(\left|\hat{\theta}-\theta\right|\leq \varepsilon\right) = 1\)` O lo que es equivalente: `\(\lim_{n \to +\infty} P\left(\left|\hat{\theta}-\theta\right|> \varepsilon\right) = 0\)` Se puede denotar con la definición de la convergencia en probabilidad, `$$\hat{\theta} \stackrel{p}{\longrightarrow} \theta.$$` --- # Consistencia > **Teorema:** Si `\(\lim_{n \to +\infty} \mathrm{MSE}(\hat{\theta})=0\)` entonces `\(\hat{\theta}\)` es consistente para estimar `\(\theta\)`. **Prueba:** Recuerde que la *Desigualdad de Chebyshev* establece que si `\(X\)` es una v.a. con `\(\mathbb{E}[X^{2}] < \infty\)`, entonces para cualquier `\(\varepsilon>0\)`, se tiene que `$$\mathrm{P}(\vert X\vert > \varepsilon) \leq \frac{\mathbb{E}[X^2]}{\varepsilon^2}.$$` Tome `\(X=\hat{\theta}-\theta\)`. Si `\(\hat{\theta}\)` es una v.a. que cumple que `\(\operatorname{Var}(\hat{\theta})\)` existe. Entonces para cada número `\(\varepsilon>0\)` `$$\operatorname{P}(|\hat{\theta}-\theta| \geq \varepsilon) \leq \frac{\mathbb{E}[(\hat{\theta}-\theta)^2]}{\varepsilon^2}=\frac{\operatorname{MSE}(\hat{\theta})}{\varepsilon^{2}}.$$` Finalmente, se tiene que `$$\lim_{n \to +\infty}\operatorname{P}(|\hat{\theta}-\theta| \geq \varepsilon) \leq \frac{1}{\varepsilon^{2}} \cdot \lim_{n\to\infty}\operatorname{MSE}(\hat{\theta})=\frac{1}{\varepsilon^{2}} \cdot 0=0$$` --- # Consistencia con estimadores insesgados > **Teorema 3.1** Si `\(\hat{\theta}\)` es un estimador de `\(\theta\)` entonces `\(\hat{\theta}\)` es un estimador consistente si: > a. `\(\hat{\theta}\)` es insesgado para `\(\theta\)`, y > b. `\(\lim_{n \to +\infty} Var(\hat{\theta}) = 0\)`. **Prueba:** Ejercicio. --- # Consistencia **Ejemplo.** Sea `\(X_{1}, X_{2}, ... , X_{n}\)` una muestra aleatoria tal que `\(X_{j} \sim Unif(0,\theta)\)` y sean `\(\hat{\theta}_{1} = 2\overline{X}\)` y `\(\hat{\theta}_{2} = \frac{n+1}{n}X_{(n)}\)` dos estimadores de `\(\theta\)`. Demuestre que estos estimadores son consistentes para estimar `\(\theta\)`. **Solución.** Ya sabemos que `\(\hat{\theta}_{1}\)` y `\(\hat{\theta}_{2}\)` son estimadores insesgados de `\(\theta\)`, por lo que se cumple la primera condición del Teorema anterior; solo nos hace falta demostrar la segunda propiedad: `$$\lim_{n \to +\infty}Var(\hat{\theta}_{1}) = \lim_{n \to +\infty}\frac{\theta^2}{3n} = 0$$` `$$\lim_{n \to +\infty}Var(\hat{\theta}_{2}) = \lim_{n \to +\infty}\frac{\theta^2}{n(n+2)} = 0$$` Ambos estimadores son insesgados, con varianza que tiende a cero. Por lo tanto son consistentes para estimar `\(\theta\)`. --- # Consistencia **OJO:** ¿ El estadístico `\(X_{(n)}\)` es consistente? **Respuesta:** Si, pero es sesgado. `$$B(X_{(n)}) = \frac{n\theta }{n+1} - \theta$$` $$Var(X_{(n)}) = \frac{n }{n+2}\theta^2 - \frac{n^2}{(n+1)^2} \theta^2 $$ **Tarea:** Pruebe que `\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \operatorname{MSE}(X_{(n)})=0\)` --- Si observamos el gráfico de `\(X_{(n)}\)` notamos su consistencia pero sin ser insesgado. Esto significa que existen estimadores sesgados y consistentes.  --- # Consistencia A continuación demostraremos que `\(X_{(n)}\)` es consistente para `\(\theta\)` por medio de la definición. **Ejemplo.** Sean `\(X_{1}, X_{2}, ... , X_{n}\)` una muestra aleatoria tal que `\(X_{j} \sim Unif(0,\theta)\)` y `\(X_{(n)}\)` un estimador de `\(\theta\)`. Demuestre que `\(X_{(n)}\)` es consistente para estimar `\(\theta\)`. **Solución.** Como `\(X_{(n)}\)` es un estimador sesgado para `\(\theta\)` no podemos hacer uso del Teorema 3.1 por lo que debemos usar la definición de consistencia. Como esta nos pide encontrar probabilidades y sabemos que `\(X_{(n)}\sim Potencial(n,\theta)\)` vamos a recordar la función de distribución de `\(X_{(n)}\)`: `\(F_{X_{(n)}}(x) = \begin{cases} 0\quad si \quad x \leq 0 \\ \left(\frac{x}{\theta}\right)^{n} \quad si\quad 0<x<\theta \\ 1\quad si\quad x \geq \theta \end{cases}\)` --- # Consistencia Con esto podemos desarrollar la probabilidad en la definición: `\(P\left(\left|X_{(n)}-\theta\right|\leq \varepsilon\right) = P\left(-\varepsilon \leq X_{(n)}-\theta\leq \varepsilon\right) = P\left(\theta - \varepsilon \leq X_{(n)} \leq \theta + \varepsilon\right) =\)` `\(F_{X_{(n)}}(\theta + \varepsilon) - F_{X_{(n)}}(\theta - \varepsilon)\)` Sabemos que `\(F_{X_{(n)}}(\theta + \varepsilon) = 1 \quad \forall \varepsilon > 0\)` ya que `\(\theta + \varepsilon > \theta\)`. No obstante, dependiendo del valor de `\(\varepsilon\)` puede que `\(\theta - \varepsilon\)` sea menor a 0 o esté entre 0 y `\(\theta\)`, por lo que `\(F_{X_{(n)}}(\theta - \varepsilon)\)` puede tomar distintos valores dependiendo de `\(\varepsilon\)`: `\(F_{X_{(n)}}(\theta - \varepsilon) = \begin{cases} \left(\frac{\theta - \varepsilon}{\theta}\right)^{n} \quad si \quad 0 < \varepsilon < \theta \\ 0 \quad si \quad \varepsilon \geq \theta \end{cases}\)` Por lo tanto, aplicando la definición, obtenemos: `\(\lim_{n \to +\infty} P\left(\left|X_{(n)}-\theta\right|\leq \varepsilon\right) = \lim_{n \to +\infty}\left(F_{X_{(n)}}(\theta + \varepsilon) - F_{X_{(n)}}(\theta - \varepsilon)\right)\)` `\(= 1 - \lim_{n \to +\infty}F_{X_{(n)}}(\theta - \varepsilon) =\begin{cases} 1 - \lim_{n \to +\infty}\left(\frac{\theta - \varepsilon}{\theta}\right)^{n} \quad si \quad 0 < \varepsilon < \theta \\ 1 \quad si \quad \varepsilon \geq \theta \end{cases} = 1 \quad \forall \varepsilon > 0\)` --- # Consistencia Como se cumple la definición entonces concluimos que `\(X_{(n)}\)` es un estimador consistente para `\(\theta\)`. > **Teorema 3.2.** Suponga que `\(\hat{\theta}\)` es un estimador consistente para estimar `\(\theta\)` y que `\(\hat{\phi}\)` es un estimador consistente para `\(\phi\)`, entonces: > `\(\hat{\theta} \pm \hat{\phi}\)` es consistente para estimar `\(\theta \pm \phi\)` > `\(\hat{\theta} \cdot \hat{\phi}\)` es consistente para estimar `\(\theta \cdot \phi\)` > `\(\frac{\hat{\theta}}{\hat{\phi}}\)` es consistente para estimar `\(\frac{\theta}{\phi}\)` > Si `\(g(\cdot)\)` es una función continua en `\(\theta\)` entonces `\(g(\hat{\theta})\)` es consistente para estimar `\(g(\theta)\)` **Es decir, si `\(\hat{\theta} \stackrel{p}{\longrightarrow} \theta\)` entonces `\(g(\hat{\theta}) \stackrel{p}{\longrightarrow} g(\theta)\)`** --- # Consistencia **Ejemplo.** Sea `\(X_{1}, X_{2}, ... , X_{n}\)` una muestra aleatoria de una población Normal con media `\(\mu\)` y variancia `\(\sigma^2\)`. a. Demuestre que `\(S^2\)` es un estimador consistente para `\(\sigma^2\)`. **Solución:** Ya conocemos que `\(E(S^2) = \sigma^2\)` por lo que se cumple que `\(S^2\)` es insesgado para `\(\sigma^2\)`. También sabemos que `\(Var(S^2) = \frac{2\sigma^4}{n-1}\)`, por lo tanto se cumple que `\(\lim_{n \to +\infty}Var(S^2) = 0\)`. Por lo tanto `\(S^2\)` es un estimador consistente para `\(\sigma^2\)`. b. Pruebe que `\(S\)` es un estimador consistente para estimar `\(\sigma\)`. **Solución:** Sea `\(g(x) = \sqrt{x}\)` una función continua si `\(x \geq 0\)`, por lo tanto: `\(g(S^2) = S\)` es consistente para estimar `\(g(\sigma^2) = \sigma\)` --- # Consistencia > **Teorema 1.25. Teorema de Slutsky.** Suponga que `\(U_n\)` es una variable aleatoria que tiene distribución que converge a una `\(N(0,1)\)` cuando `\(n \to +\infty\)`. Además `\(W_n\)` es una variable aleatoria que converge en probabilidad a 1. Se cumple, entonces, que la variable aleatoria `\(\frac{U_n}{W_n}\)` tiene distribución que converge a una `\(N(0,1)\)`, cuando `\(n \to +\infty\)`. **Ejemplo.** Sea `\(X_{1}, X_{2}, ... , X_{n}\)` una muestra aleatoria de una población con media `\(\mu\)` y variancia `\(\sigma^2\)`. Demuestre que `\(V = \frac{\overline{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\)` converge a una `\(N(0,1)\)` cuando `\(n \to +\infty\)`. **Solución.** Sea `\(U_n = \frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\)`. Sabemos que por el Teorema del Límite Central `\(U_n\)` converge en distribución a una `\(N(0,1)\)` cuando `\(n \to +\infty\)`. Sea `\(W_n = \frac{S}{\sigma}\)`. Podemos demostrar que `\(S\)` es consistente para estimar `\(\sigma\)` para cualquier población, por lo que `\(\frac{S}{\sigma}\)` converge en probabilidad a 1 ("es consistente para estimar 1"). Entonces se cumple que `\(V = \frac{\overline{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}} \xrightarrow{\text{d}} N(0,1)\)` cuando `\(n \to +\infty\)`. --- # Suficiencia Hasta el momento la selección de estimadores ha sido intuitiva, sin embargo en esta sección utilizaremos la propiedad de suficiencia para determinar estimadores a partir de ciertos estadísticos. Se dice que un estadístico es suficiente si **hace uso de toda la información de la muestra**. Ejemplos: `\(\overline{X}, S^{2}, X_{(n)}\)`. > **Definición 4.1. Suficiencia mínima.** Si `\(X_{1}, X_{2}, ... , X_{n}\)` es una muestra aleatoria sobre una población con parámetro desconocido `\(\theta\)` y función de densidad/probabilidad `\(f_{X}(x|\theta)\)`. Se dice que un estadístico `\(U = g(X_{1}, X_{2}, ... , X_{n})\)` es **suficiente mínimo** para estimar `\(\theta\)` si la distribución condicional de `\(X_{1}, X_{2}, ... , X_{n}\)` dado `\(U=u\)` es independiente de `\(\theta\)`. > Es decir, `\(P(X_{1}, X_{2}, ... , X_{n} \vert U =u)\)` no depende de `\(\theta\)`. --- # Suficiencia De otra forma, se puede decir que un estadístico `\(U = T(X_{1}, X_{2}, ... , X_{n})\)`, de una muestra aleatoria `\(X_{1}, X_{2}, ... , X_{n}\)`, es suficiente mínimo para estimar `\(\theta\)` si no se puede encontrar otro estadístico que realice una mejor reducción de los datos que la que realiza `\(U\)`. Es decir, el estadístico suficiente mínimo logra **explicar toda la información del parámetro que se presenta en la muestra aleatoria**. Ejemplo. Sea `\(X_{1}, X_{2}, ... , X_{n}\)` una muestra aleatoria tal que `\(X_{j} \sim Bernoulli(p)\)`. Pruebe que `\(U = \sum_{j=1}^{n} X_{j}\)` es suficiente para estimar `\(p\)`. Solución. Sabemos que la función de probabilidad de una Bernoulli viene dada por la siguiente expresión: `\(f_{X}(x|p) = \begin{cases} p^{x}\left(1-p\right)^{1-x} \quad si \quad x \in \left\lbrace 0,1\right\rbrace \\ 0 \quad en \quad otros \quad casos \end{cases}\)` También sabemos de antemano que la suma de Bernoulli es una Binomial, por lo que `\(U \sim Bin(n,p)\)`, por lo que tiene la siguiente función de probabilidad: `\(f_{U}(u|p) = \begin{cases} \binom{n}{u}p^{u}\left(1-p\right)^{n-u} \quad si \quad u \in \left\lbrace0,1,2,...,n\right\rbrace \\ 0 \quad en \quad otros \quad casos \end{cases}\)` --- # Suficiencia Ahora tenemos que encontrar la función de probabilidad condicional de `\(X_{1}, X_{2}, ... , X_{n}\)` dado `\(U=u\)`, que por lo visto en cursos anteriores sabemos que es: `$$f(x_{1}, ... , x_{n} | U = u) = \frac{f(x_{1}, ... , x_{n}, u)}{f_{U}(u)}$$` En este caso el numerador es la función de probabilidad conjunta de `\(X_{1}, X_{2}, ... , X_{n}\)` y `\(U\)`, pero al estar este en términos de toda la muestra aleatoria entonces quedamos con solo la función de probabilidad conjunta de `\(X_{1}, X_{2}, ... , X_{n}\)`, `\(f(x_{1}, ... , x_{n})\)`. Recordemos que bajo independencia `\(f(x_{1}, ... , x_{n}) = \prod_{j=1}^{n}f_{X_{j}}(x_{j}|p)\)`. Esta función también lleva el nombre de **función de verosimilitud** y se denota como `\(\mathcal{L}(x_{1}, ... , x_{n}|p)\)` o también solo como `\(\mathcal{L}(p)\)`. `$$\mathcal{L}(x_{1}, ... , x_{n}|p) = \prod_{j=1}^{n} p^{x_{j}}\left(1-p\right)^{1-x_{j}}= p^{\sum_{j=1}^{n}x_{j}}\left(1-p\right)^{n-\sum_{j=1}^{n}x_{j}} = p^{u}\left(1-p\right)^{n-u}.$$` --- # Suficiencia Por lo tanto, `\(f(x_{1}, ... , x_{n} | U = u) = \frac{p^{u}\left(1-p\right)^{n-u}}{\binom{n}{u}p^{u}\left(1-p\right)^{n-u}} = \frac{1}{\binom{n}{u}}\)` Como vemos, esta función condicional no depende de `\(p\)`, por lo que decimos que `\(U\)` es suficiente para estimar `\(p\)`. Ejemplo. Sea `\(X_{1}, X_{2}, ... , X_{n}\)` una muestra aleatoria de una población Uniforme en el intervalo `\((0,\theta)\)`. Demuestre que el máximo muestral es un estimador suficiente para `\(\theta\)`. Solución. Ya habiamos demostrado con anterioridad que para este caso `\(U = X_{(n)} \sim Potencial(n,\theta)\)`, por lo que conocemos su función de densidad: `\(f_{U}(u) = \frac{nu^{n-1}}{\theta^n}\)` Con esto podemos encontrar la función de densidad marginal: `\(f(x_{1}, ... , x_{n} | U = u) = \frac{\theta^{-n}}{\frac{nu^{n-1}}{\theta^n}} = \frac{1}{nu^{n-1}}\)` Como esta expresión no depende de `\(\theta\)` entonces decimos que el máximo muestral es suficiente para estimar `\(\theta\)`. --- # Técnicas para demostrar suficiencia 1. Técnica de factorización 2. Técnica de la familia exponencial. > **Teorema 4.1. Técnica de factorización.** Si `\(U\)` es un estadístico definido sobre una muestra aleatoria `\(X_{1}, X_{2}, ... , X_{n}\)` de una población con parámetro desconocido `\(\theta\)` y `\(\mathcal{L}(X_{1}, X_{2}, ... , X_{n}|\theta) = \mathcal{L}(\theta)\)` es la función de verosimilitud entonces `\(U\)` es suficiente para `\(\theta\)` si y solo si existen funciones `\(g(u,\theta)\)` y `\(h(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n})\)` tal que `\(\mathcal{L}(\theta) = g(u,\theta) \cdot h(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n})\)` donde `\(g(\cdot)\)` depende de `\(X_{1}, X_{2}, ... , X_{n}\)` solo por medio de `\(U\)` y `\(h(\cdot)\)` no depende de `\(\theta\)`. --- # Suficiencia Ejemplo. Sea `\(X_{1}, X_{2}, ... , X_{n}\)` una muestra aleatoria tal que `\(X_{j} \sim Bernoulli(p)\)`. Pruebe que `\(U = \sum_{j=1}^{n} X_{j}\)` es un estadístico suficiente mínimo para `\(p\)`. Solución. En el caso de una muestra aleatoria Bernoulli, su función de verosimilitud viene dada por `$$\mathcal{L}(p) = \prod_{j=1}^{n} p^{x_{j}}\left(1-p\right)^{1-x_{j}} = p^{\sum x_{j}}\left(1-p\right)^{n-\sum x_{j}} = p^{u}\left(1-p\right)^{n-u}$$` Si tomamos `\(g(u,p) = p^{u}\left(1-p\right)^{n-u}\)` y `\(h(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}) = 1\)` podemos ver que se cumple el teorema anterior por lo que queda demostrado que `\(U = \sum_{j=1}^{n} X_{j}\)` es un estadístico suficiente mínimo para `\(p\)`. --- # Suficiencia Ejemplo. Sea `\(X_{1}, X_{2}, ... , X_{n}\)` una muestra aleatoria de una población Poisson con media `\(\lambda\)`. Encuentre un estadístico suficiente mínimo para `\(\lambda\)`. Solución. Primero debemos encontrar la función de verosimilitud para una muestra aleatoria Poisson, `$$\mathcal{L}(\lambda) = \prod_{j=1}^{n} \frac{\lambda^{x_{j}}e^{-\lambda}}{x_{j}!} = \frac{\lambda^{\sum x_{j}}e^{-n\lambda}}{\prod x_{j}! }$$` Si tomamos `\(U = \sum_{j=1}^{n} X_{j}\)` entonces podemos observar que `\(g(u,\lambda) = \lambda^{u} e^{-n\lambda}\)` y `\(h(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}) = \frac{1}{\prod x_{j}! }\)` cumplen que su producto sea igual a la verosimilitud, por lo que `\(U = \sum_{j=1}^{n} X_{j}\)` es un estadístico suficiente mínimo. --- # Ejercicios grupales - **9.17** (Mendenhall) Suponga que `\(X_1, X_2, ..., X_n\)` y `\(Y_1, Y_2, ..., Y_n\)` son muestras aleatorias independientes provenientes de dos poblaciones con medias `\(\mu_1\)` y `\(\mu_2\)` y variancias `\(\sigma_1^2\)` y `\(\sigma_2^2\)`, respectivamente. Demuestre que `\(\bar{X}-\bar{Y}\)` es un estimador consistente de `\(\mu_1-\mu_2\)`. - **9.18** (Mendenhall) Con los mismos supuestos del ejercicios 9.17 + asumiendo que las dos poblaciones son normales con `\(\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2\)`. Demuestre que: `$$\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2+\sum_{i=1}^n(y_i-\bar{y})^2}{2n-2}$$` es un estimador consistente de `\(\sigma^2\)`. --- class: center, middle # ¿Qué discutimos hoy? ECM y propiedades de los estimadores: consistente y suficiente. Para la próxima clase: métodos para encontrar estadísticos suficientes y métodos para encontrar estimadores.