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Contenido
Introducción
Suavizamiento exponencial simple (SES)
El método lineal de Holt
El método lineal de Holt amortiguado
El método multiplicativo y aditivo de Holt-Winters
Taxonomía de los métodos de SE
Representación como modelos de Espacio de Estados
Desarrollados en los años 1950s.
Son aplicados ampliamente debido a su sencillez y bajo costo.
Pueden ser utilizados para pocas observaciones.
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Introducción
Suavizamiento exponencial simple (SES)
El método lineal de Holt
El método lineal de Holt amortiguado
El método multiplicativo y aditivo de Holt-Winters
Taxonomía de los métodos de SE
Representación como modelos de Espacio de Estados
Es apropiada para serie que no tienen patrones estacionales ni de tendencia, y cuya media o nivel cambia lentamente.
Notación:
El método de SES consiste en: \[P_{t+1}=P_t+\alpha (Z_t-P_t)\] donde \(0<\alpha<1\) es el parámetro de suavizamiento.
Note que la ecuación anterior es equivalente a: \[P_{t+1}=\alpha Z_t + (1-\alpha)~ P_t\] i.e., el pronóstico en el tiempo \(t+1\) es un promedio ponderado de la observación más reciente y el pronóstico en el tiempo \(t\).
Recursivamente se obtienen: \[\begin{align*} P_{t+1} &= \alpha Z_t + (1 - \alpha) \left[ \alpha Z_{t-1} + (1 - \alpha) P_{t-1} \right] \\ &= \alpha Z_t + \alpha (1 - \alpha) Z_{t-1} + (1 - \alpha)^2 P_{t-1} \\ &= \alpha Z_t + \alpha (1 - \alpha) Z_{t-1} + \alpha (1 - \alpha)^2 Z_{t-2} + \cdots \\ &\quad\quad\quad\quad\quad\quad + \alpha (1 - \alpha)^{t-1} Z_1 + (1 - \alpha)^t P_1. \end{align*}\]
Los coeficientes \(\alpha, \alpha (1-\alpha)^2,..., \alpha (1-\alpha)^t\) decrecen exponencialmente.
El pronóstico \(P_{t+1}\) es un promedio ponderado de las observaciones pasadas \(Z_t,...,Z_1\) ya que \((1-\alpha)^t P_{1}\) es casi nulo.
En la práctica, \(\alpha\) es desconocido.
La idea es realizar SES con diferentes valores de \(\alpha\) y seleccionar el valor de \(\alpha\) que minimiza la suma de los cuadrados de los errores de pronóstico, o el MSE. \[\operatorname{MSE}=\frac{\sum\limits_{t=1}^T \left( Z_t-P_t \right)^2}{T}.\]
Además de \(\alpha\), la selección de los valores iniciales (\(P_1\)) es importante.
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El método lineal de Holt amortiguado
El método multiplicativo y aditivo de Holt-Winters
Taxonomía de los métodos de SE
Representación como modelos de Espacio de Estados
Ecuación del nivel: \(~~~~~~~~~~~~~l_{t}=\alpha Z_{t} + (1-\alpha)~ (l_{t-1}+b_{t-1})\)
Ecuación de la pendiente: \(~~~~b_{t}=\beta (l_t-l_{t-1}) + (1-\beta)~ b_{t-1}\)
Ecuación del pronóstico: \(~~~~~P_{t+m}=l_t+b_t m\)
\(l_t\) es una estimación del nivel promedio de \(Z_t\).
\(b_t\) es una estimación de la pendiente de \(Z_t\).
La última ecuación pronostica el valor de \(Z_{t+m}\), i.e., pronóstico a \(m\) paso para adelante.
Es conocido como suavizamiento exponencial doble.
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El método lineal de Holt amortiguado
El método multiplicativo y aditivo de Holt-Winters
Taxonomía de los métodos de SE
Representación como modelos de Espacio de Estados
Ecuación del nivel: \(~~~~~~~~~~~~~l_{t}=\alpha Z_{t} + (1-\alpha)~ (l_{t-1}+\phi b_{t-1})\)
Ecuación de la pendiente: \(~~~~b_{t}=\beta (l_t-l_{t-1}) + (1-\beta)~ \phi b_{t-1}\)
Ecuación del pronóstico: \(~~~~~P_{t+m}=l_t+ (\phi+\phi^2+...+\phi^m)~b_t\)
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El método lineal de Holt
El método lineal de Holt amortiguado
El método multiplicativo y aditivo de Holt-Winters
Taxonomía de los métodos de SE
Representación como modelos de Espacio de Estados
Winters (1960) extendió el método lineal de Holt para tomar en cuenta la estacionalidad, el cual es conocido como Holt-Winters.
Método multiplicativo:
Método aditivo:
\[l_t= \alpha \frac{Z_t}{S_{t-s}}+(1-\alpha) (l_{t-1}+b_{t-1})\] \[b_t= \beta (l_t-l_{t-1})+(1-\beta) b_{t-1}\] \[S_t= \gamma \frac{Z_t}{l_{t-1}+b_{t-1}}+(1-\gamma) S_{t-s}\] \[P_{t+m}= (l_{t}+b_t~m) S_{t+m-s}\] donde
\(s\) es la longitud de la estacionalidad,
\(l_t\) es el nivel de la serie \(Z_t\),
\(b_t\) es la tendencia,
\(S_t\) es el componente estacional,
\(P_{t+m}\) es el pronóstico \(m\) pasos adelante y
\(0<\alpha<1\), \(0<\beta<1\), \(0<\gamma<1\).
Valores iniciales: para \(s\) periodos,
El nivel \(l_t\) se inicia con: \[l_s=\frac{Z_1+...+Z_s}{s}\] como un promedio de los datos de los primeros \(s\) datos.
La pendiente \(b_t\) se inicia con: \[b_s=\frac{1}{s}\left[ \frac{Z_{s+1}-Z_1}{s}+\frac{Z_{s+2}-Z_2}{s}+...+\frac{Z_{s+s}-Z_s}{s} \right]\] \[=\frac{1}{s}\left[ \frac{Z_{s+1}+...+Z_{s+s}}{s}-\frac{Z_{1}+...+Z_{s}}{s} \right]\] como un promedio de pendientes de cada periodo en los primeros \(2s\) periodos.
Los índices estacionales se inicializan como cociente de los primeros \(s\) valores al promedio de los primeros \(s\) datos. \[S_i=\frac{Z_i}{l_s}, \text{ para } i=1,...,s\]
Ejemplo 3.3 de Hernández (2011): Serie mensual de turistas de 1991-2000.
\[l_t= \alpha (Z_t-S_{t-s})+(1-\alpha) (l_{t-1}+b_{t-1})\] \[b_t= \beta (l_t-l_{t-1})+(1-\beta) b_{t-1}\] \[S_t= \gamma \left( Z_t-l_{t-1}-b_{t-1} \right)+(1-\gamma) S_{t-s}\] \[P_{t+m}= l_{t}+b_t~m + S_{t+m-s}\] donde
\(s\) es la longitud de la estacionalidad,
\(l_t\) es el nivel de la serie \(Z_t\),
\(b_t\) es la tendencia,
\(S_t\) es el componente estacional,
\(P_{t+m}\) es el pronóstico \(m\) pasos adelante y
\(0<\alpha<1\), \(0<\beta<1\), \(0<\gamma<1\).
Los índices estacionales se inicializan como cociente de los primeros \(s\) valores al promedio de los primeros \(s\) datos. \[S_i=Z_i-a_s, \text{ para } i=1,...,s\]
Existen otras inicializaciones como el procedimiento basado en regresión (Bowerman, O’Connell and Koehler, 2005).
Hasta los últimos años siguen proponiendo nuevos métodos.
ht1 <- hw(y,seasonal="multiplicative")
ht2 <- hw(y,seasonal="additive")
autoplot(y) +
autolayer(ht1, series="HW multiplicativo", PI=FALSE, size = 1) +
autolayer(ht2, series="HW aditivo", PI=FALSE, size = 1) +
xlab("año") +
ylab("turistas") +
ggtitle("Turistas que ingresaron a CR") +
guides(colour=guide_legend(title="pronóstico"))
Comparación de las medidas de precisión.
\[l_t= \alpha \frac{Z_t}{S_{t-s}}+(1-\alpha) (l_{t-1}+\phi~b_{t-1})\] \[b_t= \beta (l_t-l_{t-1})+(1-\beta)~\phi~ b_{t-1}\] \[S_t= \gamma \frac{Z_t}{l_{t-1}+\phi~b_{t-1}}+(1-\gamma) S_{t-s}\] \[P_{t+m}= (l_{t}+(\phi+\phi^2+...+\phi^m)~ b_t) S_{t+m-s}\]
Damped Holt-Winters' multiplicative method
Call:
hw(y = y, seasonal = "multiplicative", damped = TRUE)
Smoothing parameters:
alpha = 0.66
beta = 0.024
gamma = 1e-04
phi = 0.9684
Initial states:
l = 37734.1221
b = 789.7191
s = 1.1839 0.9441 0.7666 0.7176 0.939 1.0778
0.8739 0.8108 0.9503 1.1853 1.2078 1.3431
sigma: 0.0525
AIC AICc BIC
2539.896 2546.668 2590.071
ME RMSE MAE MPE MAPE MASE
Training set -114.3084 3239.923 2580.033 -0.3986991 3.995136 0.4245259
ACF1
Training set 0.008128625
ME RMSE MAE MPE MAPE MASE
Training set -394.643 4297.824 3312.546 -0.7003905 5.216058 0.5450557
ACF1
Training set -0.003603756
ME RMSE MAE MPE MAPE MASE
Training set 309.2038 3213.097 2587.598 0.2712205 3.958626 0.4257708
ACF1
Training set -0.01930739
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Taxonomía de los métodos de SE
Representación como modelos de Espacio de Estados
Tendencia | Componente estacional | ||
---|---|---|---|
\(N\) (No) | \(A\) (Aditivo) | \(M\) (Multiplicativo) | |
\(N (\text{No)}\) | \((N,N)\) | \((N,A)\) | \((N,M)\) |
\(A (\text{Aditivo})\) | \((A,N)\) | \((A,A)\) | \((A,M)\) |
\(A_d\) \((\text{Aditivo}_{damped})\) | \((A_d,N)\) | \((A_d,A)\) | \((A_d,M)\) |
Note que algunos de estos ya lo acabamos de ver:
En R
, especifica el tipo de error como “aditivo” o “multiplicativo”, y se usa la notación del modelo ETS como (ZZZ)
, donde las 3 Z
’s representan:
turistas<-read.csv("turistas.csv",sep=";")
y<-ts(turistas$turistas,start=c(1991,1),frequency=12)
hw_ad<-ets(y,model="AAA",damped = FALSE)
hw_ad_a<-ets(y,model="AAA",damped = TRUE)
hw_mul<-ets(y,model="MAM",damped = FALSE)
hw_mul_a<-ets(y,model="MAM",damped = TRUE)
hw_auto<-ets(y,model="ZZZ") #selecciona el mejor modelo usando AIC.
plot(hw_auto)
¿Qué es el término del error y cómo se define los criterios de información como el AIC?
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Representación como modelos de Espacio de Estados
Un proceso latente (o oculto) \(x_t\): Se supone que es un proceso de Markov, i.e. \[P(x_t|x_{t-1},x_{t-2},...)=P(x_t|x_{t-1})\]
Un proceso de observaciones \(y_t\): Se supone que son independientes dado los estados \(x_t\).
Fuente: Shumway & Stoffer (2017)
Como ilustración, note que la ecuación del SES: \(P_{t+1}=\alpha Z_t + (1-\alpha)~ P_t\), se puede reescribir como:
\[\begin{align*}P_{t+1}=l_t \end{align*}\]
\[\begin{align*} \ell_t &= \alpha Z_t + (1 - \alpha) P_t \\ &= \alpha Z_t + (1 - \alpha) \ell_{t-1} \end{align*}\]
Arreglando la ecuación del suavizamiento:
\[\begin{align*} \ell_t &= \ell_{t-1} + \alpha (Z_t - \ell_{t-1}) \\ &= \ell_{t-1} + \alpha e_t \end{align*}\]
donde \(e_t = Z_t - l_{t-1} = Z_t - P_{t}\) es el error.
Podríamos definir la ecuación del pronóstico como \(Z_t = l_{t-1}+e_t\), introduciendo un error aleatorio. Finalmente, la representación del modelo Espacio de Estados se escribe de la siguiente forma: \[\begin{align*} Z_t &= \ell_{t-1} + e_t \\ \ell_t &= \ell_{t-1} + \alpha e_t \end{align*}\]
Asumiendo alguna distribución de \(e_t\), se puede especificar el modelo estadístico. Por lo que se puede realizar inferencias a los parámetros y los pronósticos con intervalo de confianza.
De forma similar, el SES con el error multiplicativo es
\[\begin{align*} Z_t &= \ell_{t-1} ( 1+ e_t) \\ \ell_t &= \ell_{t-1} (1 + \alpha e_t) \end{align*}\]
ME RMSE MAE MPE MAPE MASE
Training set -394.6563 4297.824 3312.536 -0.7004108 5.216048 0.5450541
ACF1
Training set -0.003568228
ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ACF1
Training set 260.7423 4254.83 3302.818 0.2544367 5.10127 0.543455 0.00139745
ME RMSE MAE MPE MAPE MASE
Training set -296.167 3301.525 2602.353 -0.7057268 3.976193 0.4281986
ACF1
Training set 0.07227753
ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ACF1
Training set 372.8259 3283.797 2633.531 0.3366449 3.939674 0.4333287 0.07885943
ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ACF1
Training set 372.8259 3283.797 2633.531 0.3366449 3.939674 0.4333287 0.07885943
ETS(M,Ad,M)
Call:
ets(y = y, model = "ZZZ")
Smoothing parameters:
alpha = 0.5798
beta = 1e-04
gamma = 1e-04
phi = 0.9774
Initial states:
l = 37996.857
b = 809.5089
s = 1.1769 0.9461 0.7722 0.7183 0.955 1.0858
0.8657 0.8016 0.9472 1.1851 1.2074 1.3387
sigma: 0.0516
AIC AICc BIC
2535.688 2542.460 2585.863
Training set error measures:
ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ACF1
Training set 372.8259 3283.797 2633.531 0.3366449 3.939674 0.4333287 0.07885943