Tema 6: Modelos ARIMA de Box&Jenkins⁽⁴⁾

shuwei.chou@ucr.ac.cr

Escuela de Estadística, Universidad de Costa Rica

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Introducción

Contenido

Introducción
SAR(1)
SMA(1)
SARIMA

Introducción

Series con comportamiento periódico son comunes de encontrar en la práctica.
El tipo que ocurre con más frecuencia es el patrón estacional.
- Por ejm: datos mensuales, cuatrimestres, trimestres, diarios, etc.
Sea \(s\) el período del componente estacional.
Se espera que el comportamiento se repita en cada \(s\) períodos.
Es decir, \(Z_t\) sea similar a las observaciones en \(Z_{t+sk}\) para \(k=\pm 1,\pm2,...\).
- Por ejemplo, para datos mensuales, \(Z_t\) sea similar a las observaciones en \(Z_{t+ 12 k}\) para \(k=\pm 1,\pm2,...\).
Se espera que \(Z_t\) tenga correlación alta con \(Z_{t+sk}\) para \(k=\pm 1,\pm2,...\).
De esta forma, se puede detectar la estacionalidad con el correlograma.

SAR(1)

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Introducción
SAR(1)
SMA(1)
SARIMA

AR(1) estacional: SAR(1)

Este proceso está definido por: \[Z_t=C+\Phi_s Z_{t-s}+a_t\]
La ACF es:

\[\begin{align*} \rho_k &= \Phi_s^{k/s}, \quad k = 0, \pm s, \pm 2s, \pm 3s, \dots \\ \rho_k &= 0, \quad \text{para otros valores de } k > 0. \end{align*}\]

La PACF es diferente que cero en el rezago \(s\).

La acf y pacf teórica del SAR(1)₁₂

SMA(1)

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Introducción
SAR(1)
SMA(1)
SARIMA

MA(1) estacional, SMA(1)

Este proceso está definido por:

\[Z_t=C+a_t-\Theta_s a_{t-s}\]
La ACF es:

\[\begin{align*} \rho_0 &= 1 \\ \rho_s &= \frac{-\Theta_s}{1 + \Theta_s^2} \\ \rho_{ks} &= 0, \quad \text{para } k > 1 \end{align*}\]

La PACF decae exponencialmente o sinusoidalmente a cero en los rezagos \(ks, k=1,2,...\).

La acf y pacf teórica del SMA(1)₁₂

Nota

En la práctica, la etapa de identificación de modelos estacionales es más difícil debido a que los modelos estacionales se mezclan con modelos no estacionales.

Diferenciación estacional

Cuando la ACF muestran estacas en los rezagos \(s, 2s, 3s,...\), que no caen rápidamente a cero, la serie tiene una media no estacionaria y es necesario hacer una diferenciación estacional de longitud \(s\) para obtener una media estacionaria.
La diferenciación estacional de primer orden es definida por:

\[\nabla_s Z_t=Z_t-B^{s}Z_t=(1-B^{s})Z_t=Z_t-Z_{t-s}\]

La diferenciación estacional de segundo orden es definida por:

\[\nabla_s^2 Z_t=\nabla_s (\nabla_s Z_t)=(1-B^{s})(1-B^{s})Z_t=Z_t-2Z_{t-s}+Z_{t-2s}\]

De la misma forma, se puede extender a \(D\) diferencias estacionales.

\[\nabla_s^D Z_t=(1-B^{s})^D Z_t\]

SARIMA

Contenido

Introducción
SAR(1)
SMA(1)
SARIMA

Modelos ARIMA estacionales (SARIMA)

En la práctica, los patrones estacionales y no estacionales se mezclan y es necesario separarlos mediante un cuidadoso examen de las ACF y PACF.
Similarmente a un modelo no estacional, el modelo multiplicativo estacional es ajustado primero por un modelo ARIMA(P,D,Q):

\[(1-\Phi_s B^s -\Phi_{2s} B^{2s}-...-\Phi_{Ps} B^{sP})(1-B^s)^D \tilde{Z}_t=\] \[(1-\Theta_{s} B^s-\Theta_{2s} B^{2s}-...-\Theta_{Qs} B^{Qs})b_t.\]

Si la serie contiene solo el patrón estacional, \(b_t\) es ruido blanco.
Si la serie posee también un patrón no estacional, \(b_t\) debe describirse con un modelo ARIMA no estacional.

Este modelo se puede simplificar con la siguiente ecuación:

\[\Phi_P(B^s)\nabla_s^D \tilde{Z}_t=\Theta_Q(B^s)b_t.\] donde:
\(\Phi_P(B^s)=1-\Phi_s B^s -\Phi_{2s} B^{2s}-...-\Phi_{Ps} B^{Ps}\) es el operador estacional autorregresivo,
\(\Theta_Q(B^s)=1-\Theta_{s} B^s-\Theta_{2s} B^{2s}-...-\Theta_{Qs} B^{Qs}\) es el operador estacional de medias móviles, y
\(\nabla_s^D=(1-B^s)^D\) es el operador de diferenciación estacional de orden \(D\).

Si \(b_t\) es representado por un modelo \(ARIMA(p,d,q)\):

\[\phi_p(B)\nabla^d b_t=\theta_q(B)a_t.\] donde \(a_t\) es ruido blanco, entonces bajo supuestos de estacionariedad, se puede despejar:

\[ b_t=\left[ \phi_p(B)\nabla^d \right]^{-1} \theta_q(B)a_t.\] Finalmente, el modelo \(SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)_s\) es representado por:

\[\Phi_P(B^s) \phi_p(B) \nabla^d \nabla_s^D \tilde{Z}_t=\Theta_Q(B^s) \theta_q(B)a_t.\] donde \(\phi_p(B)\) es el operador AR no estacional, \(\theta_q(B)\) es el operador MA no estacional, \(\nabla^d\) es el operador de diferenciación no estacional, \(\Phi_P(B^s)\) es el operador AR estacional, \(\Theta_Q(B^s)\) es el operador MA estacional y \(\nabla_s^D\) es el operador de diferenciación estacional.