Estimación por intervalo1
¿Qué vamos a discutir hoy?
Hemos visto hasta ahora sobre estimadores puntuales.
Ahora: Intervalos de confianza clásicos.
Estimación por Intervalo
Una estimación por intervalo para un parámetro desconocido
Usualmente este concepto de confianza se interpreta diciendo que si obtenemos 100 intervalos entonces
Visualmente:
https://seeing-theory.brown.edu/frequentist-inference/es.html
Ilustración de 30 muestras independientes
Existen dos tipos de estimaciones por intervalos:
- Intervalos bilaterales
- Intervalos unilaterales
En el primer caso se tienen dos valores
En el segundo caso, se determina solamente un límite, dependiendo del interés del estudio, que puede ser:
Intervalo unilateral inferior: de la forma
Intervalo unilateral superior: de la forma
Nota: Los valores
Técnica para estimaciones por intervalo
Existen varias técnicas para obtener estimaciones por intervalo.
En este curso nos enfocaremos en la técnica del pivote.
Técnica del pivote
Esta técnica consiste en definir una variable aleatoria,
Definición 3.1: Sea
La distribución de probabilidad de U debe ser conocida y no depender de
Ejemplo: Sea
Solución: Debemos encontrar una variable aleatoria que esté definida en términos de la muestra y de
Una forma de resumir toda la información de la muestra en una sola variable aleatoria. Lo ideal sería utilizar un estadístico suficiente:
NOTA:
Ejercicio: Proponga otra variable pivote (diferente a
Una vez encontrada la variable pivote, el siguiente paso es encontrar un intervalo de confianza por medio de la técnica del pivote. Hay dos caminos:
Caso bilaterial: se requiere encontrar valores
Caso unilaterial: podemos tener un límite inferior o superior. Dependiendo del que nos interese y de la forma del pivote debemos encontrar un valor
Nota:
Para el caso bilateral:
Para el caso unilateral:
Ejemplo: Sea
Solución: En este caso podemos utilizar como pivote
Nuestro siguiente paso es buscar los valores
Recordemos que en el caso de una variable aleatoria continua
Podemos hacer lo mismo para encontrar el valor de
Nuestro último paso ahora es despejar el valor de
Por lo tanto tenemos que
Si observamos
Ejemplo: Sea
Solución: Primero debemos encontrar una cantidad pivote satisfactoria. En este caso podemos utilizar
Sea
Aplicando la técnica tenemos:
Al ser el dominio original
Ahora podemos usar esto para encontrar el valor de
Con este valor podemos proceder a despejar el valor de
Por lo tanto podemos concluir que con un
Si observamos
Ejemplo: Sea
Solución: Sabemos de antemano que
Primera opción:
Recordemos que la función generadora de momentos de una Gamma
Esto quiere decir que
Ahora procedemos a encontrar los valores
Esta integral es posible de calular a mano, pero su desarrollo necesita de 19 veces de “por partes” que hacen su cálculo extremadamente largo y tedioso.
Otra posibilidad es aprovechar algún software, si se sabe el valor de
Luego, proceder con
La forma tradicional y elegante es hacer uso de tablas estadísticas que nos dan cuartiles para ciertas probabilidades. En este caso no tenemos una tabla para una Gamma con estos parámetros, pero sí tenemos para otra Gamma: la
Segunda opción:
Afortunadamente existe una forma para pasar de cualquier Gamma a una
Sea
Esta es la función generadora de momentos de una
Cuantiles de una
Denotando
Podemos proceder a despejar
Por lo tanto, con una confianza de
Nota:
- En la práctica, si usamos algún software, se debe tomar en cuenta cuál cola se usa. En R, si
Es decir,
- Algunos libros, tablas estadísticas o softwares utilizan la notación de las probabilidades acumuladas de la cola derecha. Por ejemplo, utiliza
¿Qué discutimos hoy?
Estimación por intervalos, método del pivote