Contraste de hipótesis4
¿Qué vamos a discutir hoy?
- Hemos visto hasta ahora sobre
- Todo sobre estimadores puntuales + pivotes e intervalos de confianza.
- Contrastes de hipótesis (función de potencia, tamaño del contraste, el valor p, contrastes más potentes, uniformemente más potentes).
- Ahora:
- Contrastes de hipótesis: constrastes más potentes y uniformemente más potentes. Cocientes de verosimilitud.
Contraste de razón de verosimilitudes
En la parte anterior encontramos un método para encontrar la región crítica de un contraste cuando se contrastan dos hipótesis simples (o hipótesis compuestas generalizables) sin embargo, el Lema de Neyman-Pearson no es capaz de encontrar una región crítica cuando las hipótesis son compuestas y no se pueden generalizar a manera de encontrar un contraste UMP.
Una manera de hacer esto es por medio del contraste de razón de verosimilitudes que nos da una forma más general de trabajar con las propiedades de verosimilitud y aún así obtener un buen contraste a partir de él.
Definición 4.10: Estadístico de la razón de verosimilitudes. Suponga que se tiene una muestra aleatoria
De esta definición podemos inferir el uso que se le puede dar a dicho estadístico. Se puede demostrar que
Empezaremos mostrando la técnica con un ejemplo sencillo que consiste de solo un parámetro desconocido. Bajo este esquema podemos definir el estadístico
Ejemplo: Sea
Obtenga un contraste con un nivel de significancia de
Solución: Lo primero que se puede notar es que la hipótesis alterna es compuesta y no existe un contraste UMP para todo
También sabemos, de temas anteriores del curso, que el estimador de máxima verosimilitud para
De esta manera tenemos:
Sabemos que el contraste consiste en rechazar
Nótese que cuando
Observe que esta regla de decisión puede expresarse por medio de otra distribución. Sacando la raíz cuadrada a ambos lados, tenemos:
El lado izquierdo de la inecuación va a ser positiva si
Si
Como el valor que estamos intentando encontrar es el mismo en valor absoluto eso significa que:
Esto quiere decir que
Ahora procedamos a generalizar este ejemplo:
Ejemplo: Sea
Obtenga un contraste con un nivel de significancia de
Solución: A diferencia del caso pasado, ahora ambas hipótesis son compuestas. En este caso tenemos que
Sin embargo, si definimos
Nótese que
Por lo tanto, el estadístico de la razón de verosimilitudes sería:
Por lo tanto podemos decir que rechazamos la hipótesis nula si
De esta forma llegamos a una distribución conocida. Hemos demostrado en el curso anterior que
El método de la razón de verosimilitudes tiene un inconveniente y es que en muchas ocasiones es imposible generar un estadístico con distribución conocida a partir de
Teorema 4.3: Teorema de Wilks. Suponga que
- El resultado de este teorema es inmediato pues podemos ver que para cualquier contraste de tamaño
- De esta forma tenemos una región crítica genérica que dependerá del tamaño del contraste y de
Ejemplo: Sea
Solución: Empecemos definiendo
De este resultado podemos demostrar fácilmente que el EMV de
Por lo tanto tenemos que el estadístico de la razón de verosimilitudes es
Si aplicamos el teorema de Wilks tenemos la siguiente estadística:
Por lo tanto, vamos a rechazar la hipótesis nula si
Sin embargo, para este contraste podemos encontrar una región crítica exacta, sin necesidad de aplicar el Teorema de Wilks. Sea
Recuerde que el contraste de la razón de verosimilitudes consiste en rechazar la hipótesis nula si
En la figura podemos observar la gráfica de
Suponiendo
- Para obtener los valores
- Sabemos que bajo
- Por lo tanto
En la siguiente Figura podemos ver una comparación de la potencia exacta y aproximada para este ejemplo, utilizando
Comparación de potencias
Ejemplo: Sean
Solución: Tenemos que
Se puede demostrar que de esta expresión se obtiene
Ahora debemos encontrar el EMV de
La segunda derivada con respecto a
Ahora procedemos a encontrar
Por lo tanto, el estadístico
Ya con esto podemos encontrar una expresión para la estadística
Por el Teorema de Wilks, rechazamos la hipótesis nula si este valor es mayor a
Como parte adicional del ejemplo, supongamos que
Contraste de Wald
En el tema pasado, presentamos la distribución asintótica de los estimadores de máxima verosimilitud. Recordemos que bajo las condiciones del teorema, tenemos que para el EMV
Definición 4.11: Estadístico de Wald. Sea
Teorema 4.4: Contraste de Wald Bajo las mismas condiciones , el contraste de Wald con un nivel de significancia
Ejemplo: Recordemos en el ejemplo anterior, en donde nos interesa contrastar las hipótesis
Solución: Se puede comprobar que
Por otro lado, si utilizamos el contraste de razón de verosimilitud, tenemos que
Lab04b
¿Qué discutimos hoy?
- Contrastes de razón de verosimilitud.
- Teorema de Wilks.
- Estadístico de Wald.
Ejercicio:
- Suponga que
- Encuentre el estimador de máxima verosimilitud
- Suponga que se desea contrastar las hipótesis
- Simule en R una muestra aleatoria de tamaño
- Repita el ejercicio c, pero con la muestra simulada con
- Suponga que
- Encuentre el estimador de máxima verosimilitud de la variacia poblacional
- Suponga que se desea contrastar las hipótesis
- Simule en R una muestra aleatoria de tamaño
- Repita el ejercicio c, pero con una muestra simulada de tamaño