Contraste de hipótesis3
¿Qué vamos a discutir hoy?
- Hemos visto hasta ahora sobre
- Todo sobre estimadores puntuales + pivotes e intervalos de confianza.
- Contrastes de hipótesis (función de potencia, tamaño del contraste, el valor p).
- Ahora:
- Contrastes de hipótesis: constrastes más potentes y uniformemente más potentes. Cocientes de verosimilitud.
Contrastes más potentes
Es deseable encontrar un contraste donde las probabilidades
Es posible que uno de los dos errores tenga probabilidad cero, por ejemplo tener un contraste donde
Es imposible encontrar un contraste que minimice ambas probabilidades de error por lo que nos enfocamos en minimizar una combinación lineal de estas.
Una manera de hacer esto es fijar el tamaño del contraste y encontrar el contraste que tenga la mayor potencia.
Para demostrar el procedimiento, vamos a enfocarnos en un tipo de contraste de hipótesis que contrasta una hipótesis simple contra otra hipótesis simple. Una hipótesis simple y una hipótesis compuesta se definen de la siguiente manera:
Definición 4.6: Hipótesis simple e hipótesis compuesta. Sea
Supongamos que tenemos una muestra aleatoria donde
Supongamos ahora que
Volviendo al objetivo de encontrar un buen contraste supongamos que queremos contrastar dos hipótesis simples y que fijamos el tamaño del contraste en un valor
Definición 4.7: Contraste más potente. Suponga que se desean contrastar las hipótesis simples
El punto de este tema es que al enfocarse en solo dos valores para
Lema de Neyman-Pearson
Una manera de encontrar la región crítica para un contraste más potente
Teorema 4.1: Lema de Neyman-Pearson. Supongamos que se desea contrastar las hipótesis simples
Contrastes más potentes
Note que:
- Se rechaza
- En el caso en que
- El valor de
Podemos observar que un contraste con esta región crítica tiene sentido con la interpretación de la función de verosimilitud. Recordemos que entre más verosímil es un valor de
Ejemplo: Suponga que
Determine el contraste más potente con un tamaño
Solución: Por el Lema de Neyman-Pearson sabemos que se rechaza
Por lo tanto, al evaluar en
Por lo tanto, rechazamos
Podemos concluir que el contraste más potente consiste en rechazar
Ejemplo: Sea
Solución: Recordemos que para esta muestra normal la verosimilitud viene dada por la siguiente expresión:
Por lo tanto cuando obtenemos el cociente de las verosimilitudes para encontrar la región crítica según el Lema de Neyman-Pearson obtenemos:
A partir de esta expresión debemos encontrar el valor crítico de la prueba, ya sabemos que rechazamos
Por lo tanto, nuestro contraste consiste en rechazar
Usando el software adecuado podemos encontrar que
Contrastes uniformemente más potentes
Una observación interesante que podemos realizar del ejemplo anterior es que este no depende realmente del valor de la hipótesis alterna, solo depende del valor de la hipótesis nula y de la relación entre ambos valores; esto es un patrón común con los contrastes obtenidos mediante el Lema de Neyman-Pearson. Por lo tanto, en ciertos casos, nos es posible generalizar el resultado de este tipo de contrastes para más de un valor en
Supongamos que se desea probar las hipótesis
Definición 4.8: Contraste uniformemente más potente. Un contraste de tamaño
Bajo esta definición vamos a poder encontrar fácilmente contrastes UMP para las hipótesis alternas
Ejemplo: Sea
Solución: Empecemos por definir un valor de
Cuando se da el caso de que exista un contraste UMP (que será el caso para los ejemplos vistos en clases), existe una definición y un teorema que nos facilita la obtención del contraste.
Definición 4.9: Cociente de verosimilitudes monótono. Una muestra aleatoria con función de verosimilitud
Ejemplo: Sea
Solución: Sea
Lo que nos interesa es demostrar que esta es una función monótona de
Por lo tanto, concluimos que
Teorema 4.2: Si la distribución tiene un CVM en el estadístico
Nota: Este teorema nos facilita la obtención del contraste UMP pues nos garantiza que la regla de decisión que depende del estadístico
Específicamente, en el caso cuando tenemos
Ejemplo: Sea
Solución: Anteriormente se demostró que
Utilizando software podemos encontrar que
Ejercicio:
Un banco asegura que el tiempo de espera del cliente en las cajas sigue una distribución exponencial con media
- Encuentre el contraste uniformemente más potente de tamaño
- Suponga que
- Suponga que el tiempo promedio verdadero es
- Repita el ejercicio 3 pero suponiendo que el tiempo promedio verdadero es
Lab04a
Ejercicio:
¿Qué discutimos hoy?
Contrastes de hipótesis - contrastes más potentes, uniformemente más potentes, cociente de verosimilitudes.