Lista de ejercicios 1

  1. Escriba los siguientes modelos usando el operador de rezago \(B\) y escriba los operadores autorregresivos y de medias móviles.
  1. \(X_t=0.3 {X}_{t-1} -0.6 {X}_{t-2}+a_t\)
  2. \(X_{t}= 0.3 a_{t-1}+a_t\)
  1. Recuerde que un modelo es invertible si es posible representarlo en término de sus valores pasados: \[X_t=c+a_t+\sum_{j=1}^\infty \phi_j X_{t-j}.\]
  1. ¿Los dos modelos del ejercicio 1 son invertible?
  2. Si es así, identifique los primeros 4 coeficientes de cada modelo.
  3. Utilice ARMAtoAR para confirmar los resultados de b.
  1. Recuerde la representación de un modelo lineal estacionario:

\[X_t=\mu+\sum_{j=0}^{\infty}\psi_j w_{t-j},~~~ \sum_{j=0}^{\infty}|\psi_j| < \infty.\]

  1. Calcule los primeros 4 coeficientes de los dos modelos del punto 1 usando la representación del modelo lineal.
  2. Utilice ARMAtoMA para confirmar los resultados de a.

  1. Si \(\left\lbrace X_t, t \in T \right\rbrace\) y \(\left\lbrace Y_t, t \in T \right\rbrace\) son estacionarios y además independientes, defina \(Z_t=aX_t+bY_t\) para todo \(t\). ¿\(\left\lbrace Z_t, t \in T \right\rbrace\) será estacionario?

  2. Sea \(Z(t)=A \cos (\lambda t)+B \sin (\lambda t)\), donde \(t=0,\pm 1, ...\) y \(\lambda\) es constantes positivas, y \(A\), \(B\) son variables aleatorias independientes e independientes entre sí con medias \(0\) y variancias \(\sigma^2=Var(A)=Var(B)\). ¿El proceso \(Z(t)\) es estacionario? Encuentre la media \(E(Z(t))\) y la función de autocovariancia \(\gamma(t,t+h)\) de \(Z(t)\).

  3. Sea \(Z(t)=\sum\limits_{j=1}^n \left[A_j \cos (\lambda_j t)+B_j \sin (\lambda_j t)\right]\), donde \(t=0,\pm 1, ...\) y \(\lambda_1,...,\lambda_n\) son constantes positivas, y \(A_j\), \(B_j\) son variables aleatorias independientes e independientes entre sí con medias \(0\) y variancias \(\sigma_j^2=Var(A_j)=Var(B_j),j=1,...,n\). El proceso \(Z(t)\) es estacionario? Encuentre la media \(E[Z(t)]\) y la función de autocovariancia \(\gamma(t,t+h)\) de \(Z(t)\).

Ejercicios extras:

Los ejercicios 1.3, 1.4, 1.6, 1.7, 1.8, 1.11, 1.13 y 1.15 del libro de Shumway & Stoffer (2017).