Lista de ejercicios 3

1. En la base de datos cardiovascular.csv se refiere a las cifras de defunciones por problemas cardiovasculares en Costa Rica en el periodo 2000-2007.

1. Obtenga el gráfico lineal de la serie y estime función de autocorrelación.
2. Comente el comportamiento de la serie.

2. En la base de datos ventas.csv se refiere a las ventas mensuales de un producto realizadas por una empresa en el periodo 2001-2005.

1. Obtenga el gráfico lineal de la serie y estime función de autocorrelación.
2. Comente el comportamiento de la serie.

3. Utilice la serie fpp2::goog de la bolsa de valores del Google de 25 de febrero, 2013 a 13 de febrero, 2017.

1. Haga un gráfico lineal de la serie y y estime función de autocorrelación.
2. Comente las características de esta serie.
3. Defina $Z_t$ como la serie diferenciada de la serie $Y_t$, es decir, $$Z_t=Y_t-Y_{t-1}.$$ $Z_t$ mide el cambio que produce la observación en el tiempo $t$ con respecto a la observación en el tiempo $t-1$. Utilice la función diff(goog) para obtener los cambios diarios de la serie.
4. Haga un gráfico lineal de la serie $Z_t$ y estime su función de autocorrelación. Comente los resultados y compare con los resultados de (a) y (b).

4. Considere el proceso estocástico independiente $Z_t=a_t$ con $t=\pm 1,\pm 2,...$ y

$$a_t=\{\begin{array}{rlr}1,& & \text{con probabilidad}1/2\\ -1,& & \text{con probabilidad}1/2,\end{array}$$

1. Calcule la media del proceso $Z_t$.
2. Calcule $\gamma (t,s)=Cov(a_t,a_s)$ y haga su gráfico.
3. Calcule $\rho (t,s)=\frac{\gamma (t,s)}{\sqrt{\gamma (t,t)\gamma (s,s)}}$ y haga el gráfico.
4. ¿$Z_t$ es débilmente estacionario?

5. Suponga que $\{a_t,t=1,2,...\}$ es una secuencia de variables aleatorias independientes e identicamente distribuídas, con $$P(a_t=0)=P(a_t=1)=\frac{1}{2}$$

1. ¿El proceso $a_1+a_{2}cos(t)$ es estacionario?
2. ¿El proceso $a_1+a_2\cos (t)+a_3\cos (t)+\sin (t)$ es estacionario?

6. Si $\{X_t,t\in T\}$ y $\{Y_t,t\in T\}$ son estacionarios y además independientes, defina $Z_t=a{X}_t+b{Y}_t$ para todo $t$. ¿$\{Z_t,t\in T\}$ será estacionario?

7. Considere una secuencia aleatorias $\{{ϵ}_t,t\ge 1\}$, tal que ${ϵ}_t$ es independiente e idénticamente distribuida con media ${\mu }_{ϵ}$ y variancia ${\sigma }_{ϵ}^2$. Defina el paseo aleatorio $X_t$ como $$X_t={ϵ}_1+...+{ϵ}_t.$$

1. Muestre que $E(X_t)=t{\mu }_{ϵ}$ y $Var(X_t)=t{\sigma }_{ϵ}^2$.
2. Muestre que ${\gamma }_X(t,s)={\sigma }_{ϵ}^{2}min(t,s)$.
3. ¿Es $X_t$ estacionario?
4. Simule los datos de ${ϵ}_t$ y $X_t$ de tamaño $T=100$. Realice gráficos lineales para las dos series simuladas y comente los resultados.

8. Sea $Z(t)=\sum _{j=1}^n[A_j\cos ({\lambda }_{j}t)+B_j\sin ({\lambda }_{j}t)]$, donde $t=0,\pm 1,...$ y ${\lambda }_1,...,{\lambda }_n$ son constantes positivas, y $A_j$, $B_j$ son variables aleatorias independientes e independientes entre sí con medias $0$ y variancias ${\sigma }_j^2=Var(A_j)=Var(B_j),j=1,...,n$. El proceso $Z(t)$ es estacionario? Encuentre la media $E(Z(t))$ y la función de autocovariancia $\gamma (t,t+h)$ de $Z(t)$.

9. Utilice la serie fpp2::goog de la bolsa de valores del Google de 25 de febrero, 2013 a 13 de febrero, 2017.

1. Haga un gráfico lineal de la serie y comente las características de esta serie.
2. Una serie diferenciada $Z_t$ de la serie $Y_t$ es definida como $$Z_t=Y_t-Y_{t-1}.$$ $Z_t$ mide el cambio que produce la observación en el tiempo $t$ con respecto a la observación en el tiempo $t-1$. Utilice la función diff(goog) para obtener los cambios diarios de la serie.
3. Haga un gráfico lineal de la serie obtenida en b. ¿La serie parece a un ruido blanco?
4. Utilice la función ggAcf() para calcular la función de autocorrelación y compárela con la función de autocorrelación de los ruidos blancos.

10. Compare el modelo de caminata aleatoria con el ejercicio 7. Recuerde que una caminata aleatoria se define como: $$X_t=X_{t-1}+{ϵ}_t,$$ donde ${ϵ}_t\sim N(0,{\sigma }^2)$.

1. Simule una secuencia de variables aleatorias normales con media $0$ y variancia $1$.
2. Utilice la función cumsum() para generar la suma acumulada de la secuencia en a.
3. Haga un gráfico lineal de la serie generada en (b) y estime la función de autocorrelación.
4. Realice varias veces el ejercicio y observe el comportamiento de la serie generada.
5. Comente las características de este proceso y compare con los resultados empíricos de este ejercicio con los resultados teóricos del ejercicio 7.

Solución de ejercicios seleccionados

(4) $Z_t$ es estacionario. (7) $X_t$ no es estacionario. (8) $Z_t$ es estacionario.

Hernández, O. 2011. Introducción a las series cronológicas. Editorial UCR.

Hyndman, R. J., y G. Athanasopoulos. 2021. Forecasting: principles and practice. 3era ed. OTexts: Melbourne, Australia.

Morettin, Pedro A., y Clélia M. C. Toloi. 2006. Análise de Séries Temporais. 2da ed. Blucher.

Shumway, R., y D. Stoffer. 2016. Time series Analysis and its applications. 4ta ed. Springer.