Lista de ejercicios 3

  1. En la base de datos cardiovascular.csv se refiere a las cifras de defunciones por problemas cardiovasculares en Costa Rica en el periodo 2000-2007.
  1. Obtenga el gráfico lineal de la serie y estime función de autocorrelación.
  2. Comente el comportamiento de la serie.
  1. En la base de datos ventas.csv se refiere a las ventas mensuales de un producto realizadas por una empresa en el periodo 2001-2005.
  1. Obtenga el gráfico lineal de la serie y estime función de autocorrelación.
  2. Comente el comportamiento de la serie.
  1. Utilice la serie fpp2::goog de la bolsa de valores del Google de 25 de febrero, 2013 a 13 de febrero, 2017.
  1. Haga un gráfico lineal de la serie y y estime función de autocorrelación.
  2. Comente las características de esta serie.
  3. Defina Zt como la serie diferenciada de la serie Yt, es decir, Zt=YtYt1. Zt mide el cambio que produce la observación en el tiempo t con respecto a la observación en el tiempo t1. Utilice la función diff(goog) para obtener los cambios diarios de la serie.
  4. Haga un gráfico lineal de la serie Zt y estime su función de autocorrelación. Comente los resultados y compare con los resultados de (a) y (b).
  1. Considere el proceso estocástico independiente Zt=at con t=±1,±2,... y

at={1,con probabilidad  1/21,con probabilidad  1/2,

  1. Calcule la media del proceso Zt.
  2. Calcule γ(t,s)=Cov(at,as) y haga su gráfico.
  3. Calcule ρ(t,s)=γ(t,s)γ(t,t)γ(s,s) y haga el gráfico.
  4. ¿Zt es débilmente estacionario?
  1. Suponga que {at,t=1,2,...} es una secuencia de variables aleatorias independientes e identicamente distribuídas, con P(at=0)=P(at=1)=12
  1. ¿El proceso a1+a2cos(t) es estacionario?
  2. ¿El proceso a1+a2cos(t)+a3cos(t)+sin(t) es estacionario?
  1. Si {Xt,tT} y {Yt,tT} son estacionarios y además independientes, defina Zt=aXt+bYt para todo t. ¿{Zt,tT} será estacionario?

  2. Considere una secuencia aleatorias {ϵt,t1}, tal que ϵt es independiente e idénticamente distribuida con media μϵ y variancia σϵ2. Defina el paseo aleatorio Xt como Xt=ϵ1+...+ϵt.

  1. Muestre que E(Xt)=tμϵ y Var(Xt)=tσϵ2.
  2. Muestre que γX(t,s)=σϵ2min(t,s).
  3. ¿Es Xt estacionario?
  4. Simule los datos de ϵt y Xt de tamaño T=100. Realice gráficos lineales para las dos series simuladas y comente los resultados.
  1. Sea Z(t)=j=1n[Ajcos(λjt)+Bjsin(λjt)], donde t=0,±1,... y λ1,...,λn son constantes positivas, y Aj, Bj son variables aleatorias independientes e independientes entre sí con medias 0 y variancias σj2=Var(Aj)=Var(Bj),j=1,...,n. El proceso Z(t) es estacionario? Encuentre la media E(Z(t)) y la función de autocovariancia γ(t,t+h) de Z(t).

  2. Utilice la serie fpp2::goog de la bolsa de valores del Google de 25 de febrero, 2013 a 13 de febrero, 2017.

  1. Haga un gráfico lineal de la serie y comente las características de esta serie.
  2. Una serie diferenciada Zt de la serie Yt es definida como Zt=YtYt1. Zt mide el cambio que produce la observación en el tiempo t con respecto a la observación en el tiempo t1. Utilice la función diff(goog) para obtener los cambios diarios de la serie.
  3. Haga un gráfico lineal de la serie obtenida en b. ¿La serie parece a un ruido blanco?
  4. Utilice la función ggAcf() para calcular la función de autocorrelación y compárela con la función de autocorrelación de los ruidos blancos.
  1. Compare el modelo de caminata aleatoria con el ejercicio 7. Recuerde que una caminata aleatoria se define como: Xt=Xt1+ϵt, donde ϵtN(0,σ2).
  1. Simule una secuencia de variables aleatorias normales con media 0 y variancia 1.
  2. Utilice la función cumsum() para generar la suma acumulada de la secuencia en a.
  3. Haga un gráfico lineal de la serie generada en (b) y estime la función de autocorrelación.
  4. Realice varias veces el ejercicio y observe el comportamiento de la serie generada.
  5. Comente las características de este proceso y compare con los resultados empíricos de este ejercicio con los resultados teóricos del ejercicio 7.

Solución de ejercicios seleccionados

(4) Zt es estacionario. (7) Xt no es estacionario. (8) Zt es estacionario.