Lista de ejercicios 3

  1. En la base de datos cardiovascular.csv se refiere a las cifras de defunciones por problemas cardiovasculares en Costa Rica en el periodo 2000-2007.
  1. Obtenga el gráfico lineal de la serie y estime función de autocorrelación.
  2. Comente el comportamiento de la serie.
  1. En la base de datos ventas.csv se refiere a las ventas mensuales de un producto realizadas por una empresa en el periodo 2001-2005.
  1. Obtenga el gráfico lineal de la serie y estime función de autocorrelación.
  2. Comente el comportamiento de la serie.
  1. Utilice la serie fpp2::goog de la bolsa de valores del Google de 25 de febrero, 2013 a 13 de febrero, 2017.
  1. Haga un gráfico lineal de la serie y y estime función de autocorrelación.
  2. Comente las características de esta serie.
  3. Defina \(Z_t\) como la serie diferenciada de la serie \(Y_t\), es decir, \[ Z_t=Y_t-Y_{t-1}. \] \(Z_t\) mide el cambio que produce la observación en el tiempo \(t\) con respecto a la observación en el tiempo \(t-1\). Utilice la función diff(goog) para obtener los cambios diarios de la serie.
  4. Haga un gráfico lineal de la serie \(Z_t\) y estime su función de autocorrelación. Comente los resultados y compare con los resultados de (a) y (b).
  1. Considere el proceso estocástico independiente \(Z_t=a_t\) con \(t=\pm 1,\pm2,...\) y

\[ a_t=\left\lbrace \begin{aligned} 1, & & \text{con probabilidad}~~ 1/2 \\ -1, & & \text{con probabilidad}~~ 1/2, \end{aligned} \right. \]

  1. Calcule la media del proceso \(Z_t\).
  2. Calcule \(\gamma(t,s)=Cov(a_t,a_s)\) y haga su gráfico.
  3. Calcule \(\rho(t,s)=\frac{\gamma(t,s)}{\sqrt{\gamma(t,t)\gamma(s,s)}}\) y haga el gráfico.
  4. ¿\(Z_t\) es débilmente estacionario?
  1. Suponga que \(\left\lbrace a_t, t=1,2,... \right\rbrace\) es una secuencia de variables aleatorias independientes e identicamente distribuídas, con \[ P(a_t=0)=P(a_t=1)=\frac{1}{2} \]
  1. ¿El proceso \(a_1+a_2 cos(t)\) es estacionario?
  2. ¿El proceso \(a_1+a_2 \cos(t)+a_3 \cos(t)+\sin(t)\) es estacionario?

  1. Si \(\left\lbrace X_t, t \in T \right\rbrace\) y \(\left\lbrace Y_t, t \in T \right\rbrace\) son estacionarios y además independientes, defina \(Z_t=aX_t+bY_t\) para todo \(t\). ¿\(\left\lbrace Z_t, t \in T \right\rbrace\) será estacionario?

  2. Considere una secuencia aleatorias \(\left\lbrace \epsilon_t, t \geq 1 \right\rbrace\), tal que \(\epsilon_t\) es independiente e idénticamente distribuida con media \(\mu_\epsilon\) y variancia \(\sigma^2_\epsilon\). Defina el paseo aleatorio \(X_t\) como \[ X_t=\epsilon_1+...+\epsilon_t. \]

  1. Muestre que \(E(X_t)=t\mu_\epsilon\) y \(Var(X_t)=t \sigma_\epsilon^2\).
  2. Muestre que \(\gamma_X(t,s)=\sigma_\epsilon^2 min(t,s)\).
  3. ¿Es \(X_t\) estacionario?
  4. Simule los datos de \(\epsilon_t\) y \(X_t\) de tamaño \(T=100\). Realice gráficos lineales para las dos series simuladas y comente los resultados.

  1. Sea \(Z(t)=\sum\limits_{j=1}^n \left[A_j \cos (\lambda_j t)+B_j \sin (\lambda_j t)\right]\), donde \(t=0,\pm 1, ...\) y \(\lambda_1,...,\lambda_n\) son constantes positivas, y \(A_j\), \(B_j\) son variables aleatorias independientes e independientes entre sí con medias \(0\) y variancias \(\sigma_j^2=Var(A_j)=Var(B_j),j=1,...,n\). El proceso \(Z(t)\) es estacionario? Encuentre la media \(E(Z(t))\) y la función de autocovariancia \(\gamma(t,t+h)\) de \(Z(t)\).

  2. Utilice la serie fpp2::goog de la bolsa de valores del Google de 25 de febrero, 2013 a 13 de febrero, 2017.

  1. Haga un gráfico lineal de la serie y comente las características de esta serie.
  2. Una serie diferenciada \(Z_t\) de la serie \(Y_t\) es definida como \[ Z_t=Y_t-Y_{t-1}. \] \(Z_t\) mide el cambio que produce la observación en el tiempo \(t\) con respecto a la observación en el tiempo \(t-1\). Utilice la función diff(goog) para obtener los cambios diarios de la serie.
  3. Haga un gráfico lineal de la serie obtenida en b. ¿La serie parece a un ruido blanco?
  4. Utilice la función ggAcf() para calcular la función de autocorrelación y compárela con la función de autocorrelación de los ruidos blancos.
  1. Compare el modelo de caminata aleatoria con el ejercicio 7. Recuerde que una caminata aleatoria se define como: \[ X_t= X_{t-1}+ \epsilon_t, \] donde \(\epsilon_t \sim N(0,\sigma^2)\).
  1. Simule una secuencia de variables aleatorias normales con media \(0\) y variancia \(1\).
  2. Utilice la función cumsum() para generar la suma acumulada de la secuencia en a.
  3. Haga un gráfico lineal de la serie generada en (b) y estime la función de autocorrelación.
  4. Realice varias veces el ejercicio y observe el comportamiento de la serie generada.
  5. Comente las características de este proceso y compare con los resultados empíricos de este ejercicio con los resultados teóricos del ejercicio 7.

Solución de ejercicios seleccionados

(4) \(Z_t\) es estacionario. (7) \(X_t\) no es estacionario. (8) \(Z_t\) es estacionario.